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Ellipsoidal harmonic analysis. (English) JFM 32.0464.02

Verf. beabsichtigt, mit dem Endzweck einer näheren Untersuchung der Poincaréschen birnförmigen Gleichgewichtsfigur einer rotierenden Masse, einen Weg zur numerischen Auswertung der Laméschen Funktionen zu geben. Hierfür ist die homogene Lamésche Form nicht geeignet. Verf. findet eine geeignete Darstellung auf dem folgenden Wege: Zunächst wird der Übergang von Kugelfunktionen zu sphäroidischen Funktionen in der Weise gemacht, daßein imaginäres Sphäroid mit den Halbachsen \(ik, ik\) und 0 zu Grunde gelegt wird, mit Hülfe dessen ein Punkt durch drei Koordinaten nämlich 1. durch die reziproke Exzentrizität \(\nu\), 2. durch den Kosinus der Polhöhe des Radiusvektors \(\mu\) und 3. durch die Länge \(\varphi\) festgelegt wird. Dann wird der Übergang zum dreiachsigen Ellipsoid in der Weise vollzogen, daßeine Halbachse \(ik\) durch \(ik \sqrt{(1 + \beta)/(1 - \beta)}\) ersetzt wird. Die Koordinaten \(\nu, \mu, \varphi\) bleiben dann, bekommen aber natürlich eine weniger einfache geometrische Bedeutung. Auf Grund dieser, nur aus praktischen Rücksichten gemachten Festsetzungen werden dann die entsprechenden Reihenentwicklungen ausgeführt. Es treten dabei naturgemäß\(P\)-Funktionen und \(Q\)-Funktionen der \(\nu\) und der \(\mu\) auf, für welche Reihendarstellungen durch die Kugel-\(P\)- und \(Q\)-Funktionen gegeben werden. Für die \(Q\)-Funktionen ergibt sich ebenso, wie bei den Kugelfunktionen, eine Integraldarstellung durch die \(P\)-Funktionen. Es gibt aber zwei Arten von \(P\)- und \(Q\)-Funktionen, die natürlich auch für gerade und ungerade Indizes andere Formen annehmen. In \(\varphi\) treten nur verhältnismäßig einfache goniometrische Funktionen \(C\) und \(S\) auf.
Einen großen Teil der sehr umfangreichen Arbeit nehmen die Entwicklungen der niederen Grade dieser Funktionen ein, für die am Schlußeine tabellarische Zusammenstellung gegeben wird. Die Anwendung auf die birnförmige Gleichgewichtsfigur wird erst in Aussicht gestellt. Doch finden sich zwei andere Anwendungen angegeben, nämlich eine auf die elastische, den Laplaceschen Operator gestattende Deformation des Ellipsoids und eine auf das Potential des Ellipsoids.

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