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Ueber einige bei Schwingungsproblemen auftretende Differentialgleichungen. (German) JFM 30.0711.02

Es werden die Probleme der allgemeinen Schwingungen in den Ausdrücken der Vectoranalysis untersucht, aber so, dass die Beziehungen zu Parametercoordinaten allgemein und cartesischen Coordinaten insbesondere bestimmt, und dass die letzteren den wirklichen Berechnungen zu Grunde gelegt werden. Die allgemeinen Gesetze werden hingegen in der Terminologie der Vectoranalysis ausgedrückt und gewinnen in dieser eine bemerkenswert einfache Gestalt. Die weitere Verfolgung der entsprechenden Coordinatengleichungen ergiebt, dass sich das Problem der longitudinalen Schwingungen immer auf die Bestimmung eines Scalars zurückführen lässt, der der Gleichung \(\Delta u+k^2u=0\) genügt. Bei transversalen Schwingungen ist dies im allgemeinen nicht möglich. Dagegen gelingt es in zwei Specialfällen, nämlich: 1. bei zweidimensionalen Schwingungen, die ebenfalls auf die Gleichung \(\Delta u+k^2u=0\) führen, und 2. bei solchen Schwingungen, die symmetrisch um eine Axe erfolgen. Hier ergiebt sich aber eine andere Differentialgleichung. Diese Gleichungen werden dann, zum Teil in Anlehnung an bekannte Methoden, allgemein untersucht in der Form von partiellen Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Parametern (in Parametercoordinaten oder cartesischen Coordinaten), von denen angenommen wird, dass sie sich durch Producte der Parameter integriren lassen. Die Resultate lassen sich hier nicht im einzelnen angeben.
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References:

[1] F. Pockels: ?Die part. Diffgl. ?u+k 2 u=0 und deren Auftreten in der math. Physik?. Leipzig 1891. · JFM 23.0403.01
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[3] Heaviside: ?Electrical papers? I, Art. 24.
[4] Mathien: ?Cours de physique mathématique? 1873, p. 122-164.
[5] Heine: ?Handbuch der Kugelfunctionen? 1878, I, p. 401-412.
[6] Weitere Litteratur findet man bei Pockels l. c. F. Pockels: ?Die part. Diffgl. ?u+k 2 u=0 und deren Auftreten in der math. Physik?. Leipzig 1891.
[7] Mathieu l. c. ?Cours de physique mathématique? 1873. p. 270-290.
[8] Heine l. c. ?, II, p. 328-332.
[9] Niven: Transactions of the R. Soc. of London 1880, I, p. 117-151. · JFM 12.0836.01 · doi:10.1098/rstl.1880.0005
[10] M. Abraham: ?Die el. Schwingungen um e. stabförmigen Leiter?. Wied. Ann. d. Physik u. Chemie. Bd. 66, p. 435-472. 1898. · JFM 29.0738.01 · doi:10.1002/andp.18983021105
[11] Poincaré: Acta mathematica Bd. VIII. p. 295 ff. und Méth. nouvelles de la mécanique céleste. II. p. 2. 1893.
[12] Heariside: ?Electrical papers? I, Art. 24. Siehe auch A. Föppl ?Einführung i. d. Maxwell’sche Theorie?. Lpz. 1894. Cap. I.
[13] M. Planck, Berl. Sitzungsber. Febr. 1896.
[14] Stokes, Math. Phys. Papers. II. p. 258.
[15] Clebsch, Crelle’s Journal. Bd. 61. · Zbl 0056.35505
[16] Heaviside, ?Electrical papers?. I, Art. 30. · JFM 24.1043.02
[17] H. Hertz, ?Ausbr. d. el. Kraft?, p. 148.
[18] H. Weber, Math. Ann. I, p. 27-30. Siehe auch Häntschel ?Reduction der Potentialgleichung?, p. 137-140.
[19] Diese Hypothese hat schon Mathieu (Liouv. Journ. [2] XVII. p. 249-323. 1872) für d. Fall des ell. Cylinders aufgestellt, ohne sie indessen zur Herleitung der Relationen (24) zu verwerthen. Siehe auch Pockels, l. c. F. Pockels: ?Die part. Diffgl. ?u+k 2 u=0 und deren Auftreten in der math. Physik?. Leipzig 1891. p. 326-335.
[20] Dieses Princip ist später von Poincaré, Rendic. del circ. math. di Palermo, 1894, Tom. 8, bewiesen worden.
[21] Heine, Handbuch I, p. 404-413.
[22] Niven, l. c., I, p. 133-135.
[23] Heine I, Formel 14, 14b (p. 82).
[24] Heine, Handbuch, I, p. 414.
[25] Poincaré, American Journal of Math. Bd, 7 und Acta Math. Bd. 8, siehe auch: Picard, ?Traité d’Analyse? Bd. III, Cap. 14.
[26] Kneser, Crelle’s Journal Bd. 116, 117 und Math. Ann. Bd. 49.
[27] Horn, Crelle’s Journal Bd. 118.
[28] Wied. Ann. Bd. 66, p. 435-472. 1898.
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