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On the solution of the equation \((\triangledown^2+\varkappa^2)\psi=0\) in elliptic coordinates and their physical applicationss. (English) JFM 29.0674.05

Ueber den Zweck der Untersuchung berichten wir mit den einleitenden Worten der umfangreichen Abhandlung: Es ist wohl bekannt, dass die Lösung einer grossen Anzahl physikalischer Probleme fast ganz auf der erfolgreichen Behandlung der Differentialgleichung \((\triangledown^2+\varkappa^2)\psi=0\) beruht. Die Schwierigkeit besteht in jedem Falle darin, eine Lösung in Ausdrucken mit den Coordinaten zu erhalten, die sich für den symbolischen Ausdruck der “Grenzbedingungen” des Problems eignen. Wenn die Grenzen entweder Kreiscylinder oder Kugeln sind, so hat man alle analytischen Schwierigkeiten äusserst glücklich überwunden; allein verhältnismässig wenig ist man mit anderen Gestalten von begrenzenden Oberflächen vorwärts gekommen. Die vorliegende Abhandlung beschäftigt sich mit Problemen, welche elliptische Cylinder und Sphäroide betreffen.
Das zweidimensionale Problem scheint zuerst von Mathieu in Angriff genommen zu sein (Mémoire sur le mouvement vibratoire d’une membrane de forme elliptique. Journ. de Math. (2) 13, 137-203; F. d. M. 1, 354-356, 1868, JFM 01.0354.02). In dem folgenden Jahre veröffentlichte H. Weber einen Aufsatz über den Gegenstand in Math. Ann. 1, 1-36 (Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung \(\varDelta u+k^2u=0\); F. d. M. 2, 217, 1869, JFM 02.0217.01). Weitere Beziehungen findet man in Heine’s Handbuch der Kugelfunctionen 2, 208 und in einem neueren Buche von Pockels (Ueber die partielle Differentialgleichung \(\varDelta u+k^2u=0\). Leipzig: Teubner; F. d. M. 23, 403, 1891; JFM 23.0403.01).
Das dreidimensionale Problem ist vom analytischen Gesichtspunkte aus dem zweidimensionalen sehr ähnlich. Es ist von C. Niven in einer Abhandlung über “Conduction of heat in ellipsoids” in Angriff genommen worden (Philos. Trans. 171, 117-161; F. d. M. 12, 836, 1880, JFM 12.0836.01).
Die vorliegende Schrift hat wenig Gemeinsames mit einer der citirten Arbeiten, es sei denn, dass das Problem, mit dem Niven sich 1880 beschäftigte, hier eine kurze Erwähnung findet, obgleich die Methode der Behandlung eine ganz verschiedenartige ist. Seitdem diese Abhandlung verfasst war, ist die Aufmerksamkeit des Verf. auf einen kurzen Artikel von Lindemann gelenkt worden (“Ueber die Differentialgleichung der Functionen des elliptischen Cylinders”. Math. Ann. 22, 117-123; F. d. M. 15, 270, 1883, JFM 15.0270.01). Derselbe gebraucht unabhängige Veränderliche, die in der That die nämlichen sind wie die der vorliegenden Arbeit, und erhält einige der hier gewonnenen Resultate; doch beschäftigt er sich vornehmlich mit dem Beweise einiger Sätze über das Product der beiden Lösungen der Differentialgleichung.
Ein grosser Teil der Schrift ist einer rein mathematischen Untersuchung gewidmet, nämlich der Aufstellung von Reihenentwickelungen für die Differentialgleichung der Functionen des elliptischen Cylinders der Form: \[ (x^2-1)\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (\lambda^2x^2-p^2)y = 0 \] in der Umgebung der kritischen Punkte \(x=1\), \(x=-1\), \(x=\infty\). Obschon der Verf. sich mit den bezüglichen Forschungen, insbesondere den Grundzügen der Fuchs’schen Theorie der linearen Differentialgleichungen vertraut zeigt, hat er unter anderem die Arbeiten von E. Haentzschel auf diesem Gebiete vollständig übersehen: “Beitrag zur Theorie der Functionen des elliptischen und des Kreiscylinders”, Pr. Berlin 1889 (F. d. M. 21, 521-523, 1889, JFM 21.0521.02) und “Studien über die Reduction der Potentialgleichung auf gewöhnliche Differentialgleichungen”, Berlin: Georg Reimer (F. d. M. 25, 831-835, 1893, JFM 25.0831.01). Ausser diesen Arbeiten sind von demselben Verf. noch zu erwähnen: “Ueber den functionentheoretischen Zusammenhang zwischen den Lamé’schen, Laplace’schen und Bessel’schen Functionen” in Schlömilch Z. 31, 25-33, ferner: “Zur Theorie der Functionen des elliptischen Cylinders”, Pr. Duisburg (vergl. F. d. M. 18, 430-433, 1886, JFM 18.0430.02; JFM 18.0432.01).
Die physikalischen Anwendungen der erhaltenen Formeln beginnen auf S. 72. Folgende Gegenstände werden der Reihe nach erledigt: Schwingungen elliptischer Membranen, Schwingungen einer elliptischen Platte (S.73), Schwingungen von Luft in elliptischen Cylindern (S. 74-76), Flutwellen in einem cylindrischen Gefässe von elliptischem Querschnitte (S. 76), Formen stetiger Wirbelbewegung in einem elliptischen Cylinder (S. 76-77), elektrische Wellen in der dielektrischen Umgebung eines elliptischen Cylinders und die Abnahme magnetischer Kraft in einem Metallcylinder bei magnetischen Kraftlinien parallel zur Axe (S. 77-79).
In dem als zweiter Abschnitt bezeichneten Teile werden für die im Titel angegebene Differentialgleichung die Lösungen aufgesucht, welche zur Behandlung von Problemen bezüglich der Sphäroide geeignet sind. Die für diesen Fall gültige Differentialgleichung lautet in der vom Verf. benutzten Form: \[ (1-x^2)z'' - 2(n+1)xz' + [p-n(n+1)-\lambda^2x^2]z = 0. \] Die mathematische Behandlung dieser Gleichung wird an die im ersten Abschnitte erledigte Differentialgleichung angeknüpft (S. 80-90), und dann wendet sich der Verf. zu den folgenden physikalischen Problemen: Vibrationen von sphäroidischen Luftschichten (S. 91-96), Vibrationen in einer halbsphäroidischen Schicht (S. 96), Arten der Vibration für die elektrischen Schwingungen in einem dünnen homoioidalen Lager eines Dielektricums zwischen zwei leitenden sphäroidischen Oberflächen (S. 96-98), Vibrationen der Luft in einer sphäroidischen Hülle (S. 98-99), Mitteilung der Vibrationen von einem Sphäroid an das umgebende Gas (S. 99- 101), Zerstreuung von Wellen durch ein hemmendes Sphäroid (S. 101), elektrische Schwingungen über die Oberfläche eines Sphäroids (S. 102- 104), Abnahme elektrischer Ströme in leitenden Sphäroiden (S. 104-105), verschiedene Probleme über Wärmeleitung in Sphäroiden (S. 105-107). Wegen der Mannigfaltigkeit der behandelten Fragen ist Ref. nicht in der Lage, über jede Lösung einzeln zu berichten, sondern muss sich mit der allgemeinen Bemerkung begnügen, dass vielfach Zahlenbeispiele durchgerechnet und aus ihnen in Tabellenform viele Einzelergebnisse abgeleitet worden sind.