Crawford, L. A proof of Klein’s theorem in connection with Lamé’s functions. (English) JFM 29.0400.02 Quart. J. 30, 307-312 (1899). Zu einem von F. Klein aufgestellten Satze, der sich auf die Verteilung der Wurzeln der Lamé’schen Functionen bezieht, wird hier ein Analogon abgeleitet, bei dem an Stelle der genannten Functionen die Lösungen der Differentialgleichung \[ \frac{d^2U}{du^2} = U\{n(n+1)\wp(u)+B\} \] treten. Bekanntlich giebt es, bei geeigneter Wahl der Constante \(B\), \(2n+1\) Lösungen jener Gleichung in endlicher Form, die in vier Typen zerfallen (vergl. die Arbeit des Verf. Quart. J. 29; F. d. M. 28, 287, 1897, JFM 28.0287.01). Einen dieser Typen bilden, falls \(n\) eine gerade Zahl ist, \(\frac12n+1\) ganze Functionen von \(\wp(u)\) vom Grade \(\frac12n+1\), und die sämtlichen Wurzeln aller dieser Functionen sind reell und liegen zwischen \(e_1\) und \(e_3\). Der zu beweisende Satz besagt nun, dass unter den in Rede stehenden \(\frac12n+1\) Functionen \(U_n\) nur eine vorhanden ist, bei der eine gegebene Zahl \(r\) von Wurzeln zwischen \(e_1\) und \(e_2\), die übrigen \(\frac12n+1-r\) zwischen \(e_2\) und \(e_3\) liegen. Der Beweis lässt sich leicht für den Fall \(e_1=e_2\) führen, wo also \(r\) Wurzeln mit \(e_2\) zusammenfallen, und der Fall \(e_1\neq e_2\) lässt sich dann auf diesen durch geometrische Betrachtungen zurückführen. Jede Wurzel der Gleichung \(U_n=0\) entspricht nämlich einer Krümmungslinie auf dem Ellipsoid mit den Axen \(\sqrt{\wp(u_1)-e_3}\), \(\sqrt{\wp(u_1)-e_2}\), \(\sqrt{\wp(u_1)-e_1}\) (\(u_1\) ist ein constanter Wert), und zwar geben die Wurzeln von \(U_n=0\), die zwischen \(e_1\) und \(e_2\) liegen, Krümmungslinien der einen, die zwischen \(e_2\) und \(e_3\) liegender Krümmungslinien der andern Schar. Lässt man aber \(e_1=e_2\) werden, d. h. führt man das dreiaxige Ellipsoid in ein Rotationsellipsoid über, so bleiben bei jeder Aenderung der Axe die Krümmungslinien der einen Schar von denen der anderen verschieden; man kann also von der Zahl der Rrammungslinien im Falle \(e_1=e_2\) auf die Zahl der Krümmungslinien im Falle \(e_1>e_2\) schliessen. — In ähnlicher Weise wird der Satz für einen Typus der Lösungen geführt, falls \(n\) ungerade. Reviewer: Wangerin, Prof. (Halle a. S.) JFM Section:Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Kapitel 2. Besondere Functionen. D. Kugelfunctionen und verwandte Functionen. Citations:JFM 28.0287.01 PDFBibTeX XMLCite \textit{L. Crawford}, Quart. J. 30, 307--312 (1899; JFM 29.0400.02)