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Ueber die allgemeine Reihenentwickelung der Potentialfunction nach Lamé’schen Producten. (German) JFM 26.0522.01

Göttingen. 48 S. gr. \(8^\circ\) (1895).
Die allgemeinste Potentialaufgabe für Körper, die von Flächen zweiter Ordnung begrenzt werden, die nämlich, bei der die Begrenzung von je zwei Flächen der bekannten drei confocalen Flächenscharen gebildet wird, ist zuerst von Herrn F. Klein in Angriff genommen [Math. Ann. XVIII. 410; F. d. M. XIII. 1881. 407, JFM 13.0407.01, ) Anmerkung. Das oben citirte Referat enthält einen Druckfehler. Die S. 409 unter (3) mitgeteilte Integralformel muss heissen: \[ \int(E_1E_2E_3)_{m,n}.(E_1E_2E_3)_{m',n'}dw = 0. \] )]. Doch hatte sich Herr Klein damit begnügt, die Möglichkeit der Bildung der erforderlichen Particularlösungen zu zeigen, sowie die Form der allgemeinen Lösung aufzustellen, war aber nicht auf die Convergenzfrage eingegangen. Diese Lücke wird durch die vorliegende Dissertation ausgefüllt. In derselben wird der Nachweis geführt, dass die von Herrn Klein für das Potential \(V\) aufgestellte Reihe im ganzen Innern des betrachteten Körpers convergirt und dort eine stetige Function darstellt, welche Ableitungen aller Ordnungen besitzt; dass ferner diese Ableitungen auch stetig sind und erhalten werden können, indem man die ursprüngliche Reihe gliedweise differentiirt.
Um den erwähnten Nachweis zu führen, untersucht der Verfasser den Verlauf der Lamé’schen Functionen in den mit grossen Indices versehenen Gliedern der Doppelreihe für \(V\). Die Lamé’schen Functionen sind Lösungen der Differentialgleichung \[ \frac{d^2E}{dt^2} = (Ax + B)E,\tag{1} \] wo \[ t = \int^x \frac12 \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(x-b)(x-c)}} = \int^x \frac12 \frac{dx}{\sqrt{f(x)}} \] ist, während \(A\) und \(B\) der Reihe nach eine doppelt unendliche Reihe von Werten annehmen, welche resp. zu jedem Paare \(m\), \(n\) positiver ganzer Zahlen gehören und durch das von Herrn Klein aufgestellte Oscillationstheorem eindeutig festgelegt sind. Es fragt sich nun zunächst, was aus den Parametern \(A\), \(B\) wird, wenn eine der Zahlen \(m\), \(n\) oder beide sehr gross werden. Eine geometrische Betrachtung lehrt, dass dann im allgemeinen auch die beiden Parameter \(A\) und \(B\) unendlich werden, ihr Verhältnis \(\frac BA=-C\) dagegen stets zwischen endlichen Grenzen bleibt.
Um weiter für ein sehr grosses \(A\) eine asymptotische Darstellung von \(E\) zu finden, wird zunächst angenommen, dass \(x\) auf einen Bereich beschränkt ist, in dem \(\frac{x-C}{f(x)}\) beständig negativ ist (Verfasser nennt diesen Bereich ein “oscillatorisches Segment” der \(x\)-Axe). Dann wird Gleichung (6) durch die Substitution \[ z = \int_{x_0}^x \frac12 \sqrt{\frac{-(x-c)}{f(x)}}dx,\quad E = \theta.G,\quad \theta = \frac1{\root4\of{\mp(x-C)}} \] auf die Form gebracht: \[ \frac{d^2G}{dz^2} + \alpha^2G = NG,\tag{2} \] wo \[ N = \theta \frac{d^2\left(\frac1{\theta}\right)}{dz^2} \] ist. Die Lösung von (2) ist \[ G = G_0\cos(\alpha z) + \left(\frac{dG}{dz}\right)_0 \frac{\sin(\alpha z)}{\alpha} + \frac1{\alpha} \int_0^z N'G'\sin\alpha(z-z')dz',\tag{3} \] und zwar sind \(G_0\) und \(\left(\frac{dG}{dz}\right)_0\) die Werte, welche \(G\) und seine erste Ableitung für \(z=0\) annehmen, während \(N'\) und \(G'\) aus \(N\) und \(G\) entstehen, indem man \(z'\) an Stelle von \(z\) setzt. Setzt man in (3) \(z'\) statt \(z\), substituirt den so erhaltenen Wert von \(G'\) in die ursprüngliche Gleichung (3) und wiederholt diese Operation, so erhält man für \(G\) eine convergente, nach fallenden Potenzen von \(\alpha\) geordnete Reihe und kann daher mit beliebiger Annäherung \(G\) und damit auch \(E\) berechnen.
In ähnlicher Weise lässt sich der Fall \(\frac{x-C}{f(x)}>0\) (“nicht oscillatorisches Segment”) erledigen; nur treten hier Exponentialfunctionen an Stelle der trigonometrischen. Endlich wird eine besondere Betrachtung für Werte von \(x\) in der Umgebung der Stelle \(x=C\) angestellt; statt der trigonometrischen, resp. Exponentialfunctionen treten hier Bessel’sche Functionen auf.
Die so erhaltenen Formeln werden benutzt, um die obere Grenze der Werte einer Lamé’schen Function in den drei obigen Fällen zu bestimmen. Ferner wird untersucht, mit welcher Annäherung die beiden ersten Glieder der rechten Seite von (3) die Function \(G\) darstellen. Es werden sodann die abgeleiteten Formeln geometrisch veranschaulicht (Lamé’sche Curven), und es werden die Beziehungen zwischen den Oscillationszahlen und den Parametern erörtert. Damit sind die Grundlagen gewonnen, um den Convergenzbeweis der Reihe für \(V\) zu führen.
Indem wir hinsichtlich weiterer Einzelheiten auf die Arbeit selbst verweisen, erwähnen wir noch folgende Bemerkung des Verfassers. Um den Nachweis, dass die Reihe für \(V\) die Lösung der Randwertaufgabe der Potentialtheorie ist, vollständig zu führen, wäre noch zu zeigen, dass bei beliebiger Annäherung an die Grenze des betrachteten Körpers die Reihe für \(V\) auch den dort vorgeschriebenen Wert darstellt. Das ist, wie sich leicht zeigen lässt, dann der Fall, wenn die an der Grenze gegebenen Werte selbst ein Potential darstellen, während der Fall, wo jene vorgeschriebenen Werte ganz beliebig sind, sich im allgemeinen nicht erledigen lässt.

Citations:

JFM 13.0407.01