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Beitrag zur Theorie der Functionen des elliptischen Cylinders. (German) JFM 25.0849.03

Pr. (Nr. 534) Gymn. Chemnitz. 28 S. \(4^\circ\) (1894).
Der Verfasser entwickelt die wichtigsten Formeln der im Titel genannten Theorie wesentlich im Anschluss an Heine’s Handbuch der Kugelfunctionen (Bd. I S. 401 ff, Bd. II S.202 ff), doch in modificirter Darstellung. Nach Einführung elliptischer Coordinaten \(u\), \(w\) in der \(xy\)-Ebene wird die Laplace’sche Differentialgleichung transformirt. Dieselbe lautet nach Ausscheidung des die \(z\)-Coordinate enthaltenden Factors: \[ \frac{\partial^2U}{\partial u^2} + \frac{\partial^2U}{\partial w^2} + \lambda^2(\cos^2w - \cos^2iu)U = 0.\tag{1} \] Die Darstellung der reciproken Entfernung eines Punktes von der Cylinderaxe mittels des Fourier’schen Integrals oder mittels des Jacobi’schen Integrals für \(\frac1{\sqrt{a^2-b^2}}\) führt darauf, dass die Bessel’schen Functionen \(J_0\) und \(K_0\) mit dem Argumente \(i\lambda\sqrt{\cos^2iu - \sin^2w}\) der Gleichung (1) genügen; und die Integraldarstellung der Function \(J_0\) wiederum führt auf die erste der von Heine ohne Beweis mitgeteilten Integraldarstellungen der Lösung von (1) [cf. Heine, Bd. I, S. 403, Gl. \(65^a\)]. Die Bemerkung, welche der Verfasser gegen die Integraldarstellung der zweiten Particularlösung (Gl. \(65^b\) bei Heine) richtet, erscheint dem Referenten nur insofern als zutreffend, als sich diese Darstellung nicht auf dem Wege des Verfassers ableiten lässt. Gegen ihre Richtigkeit ist damit nichts bewiesen. Es folgt die Aufsuchung von Particularlösungen von (1) von der Form \(U = \mathfrak E(iu)\mathfrak E(w)\), wo \(\mathfrak E(w)\) der Gleichung \[ \frac{d^2\mathfrak E}{dw^2} + (\lambda^2\cos^2w + \mathfrak B)\mathfrak E = 0\tag{2} \] genügt, sowie die Entwickelung von \(\mathfrak E(w)\) nach Sinus und Cosinus der Vielfachen von \(w\). Daran schliesst sich die Integraldarstellung der Producte \(\mathfrak E(iu)\mathfrak E(w)\), ferner die Entwickelung von \(\mathfrak E(w)\) in eine nach Bessel’schen Functionen fortschreitende Reihe. Hier erweitert der Verfasser die Resultate von Heine, indem er die erwähnten Integraldarstellungen und Reihen, die Heine nur für die erste Klasse der \(\mathfrak E\) (d. i. für die Reihen, die nach Cosinus der geraden Vielfachen von \(w\) fortschreiten) gegeben hatte, auch für die übrigen drei Klassen (d. i. für die Entwickelung nach Cosinus der ungeraden Vielfachen und nach Sinus der ungeraden, resp. geraden Vielfachen) vollständig ableitet. Dabei stellt sich heraus, dass eine Angabe von Heine irrig ist. Die beiden Reihen nämlich, welche Heine im zweiten Teile seines Handbuchs S. 204 als Entwickelungen zweier verschiedenen Klassen der \(\mathfrak E\) bezeichnet, sind nur zwei verschiedene Darstellungen der ersten Klasse der \(\mathfrak E\). Ebenso sind auch die Functionen der vierten klasse durch zwei verschiedene analytische Ausdrücke darstellbar, eine Eigentümlichkeit, die auch bei den Entwickelungen der \(\mathfrak E\) in Potenzreihen wiederkehrt. Diese Potenzentwickelung der \(\mathfrak E\) (für \(x=\cos^2w\)) bildet den Schluss der Arbeit. Der Darstellung liegen hier die Untersuchungen der Herren Lindemann und Haentzschel zu Grunde. Hinsichtlich der Einzelheiten der abgeleiteten Resultate muss auf die Arbeit selbst verwiesen werden.