Bigler, U. Einige Bemerkungen über die Lamé’schen Functionen zweiter Art. (German) JFM 25.0828.01 Hoppe Arch. (2) XII, 113-154, 225-273 (1893). Die Arbeit hat den Zweck, die Darstellung, die Heine in seinem Handbuch der Kugelfunctionen betreffs der Lamé’schen Functionen zweiter Art giebt, in zwei Punkten zu ergänzen, resp. zu erweitern. Dabei schliesst sich der Verfasser nicht der Bezeichnung Heine’s an, sondern benutzt folgende abweichende Bezeichnung. Er nennt \(x-a\), \(x-b\), \(x-c\) die Halbaxenquadrate eines der confocalen Ellipsoide, wobei \(a<b<c<x\) ist. Dann hat die Lamé’sche Function erster Art die Form: \[ P(x) = (x-a)^\alpha (x-b)^\beta (x-c)^\gamma Q(x), \] wo \(Q(x)\) eine ganze Function vom Grade \(\frac n2-\alpha-\beta-\gamma\) ist, während \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) entweder den Wert Null oder \(\frac12\) haben. Die Lamé’sche Function zweiter Art wird dann: \[ T(x) = (2n+1)P(x) \int_x^\infty \frac{dz}{2\sqrt{\Pi(z-a)}P^2(z)}.\tag{I} \] Heine stellt nun den Satz auf (Handbuch I S. 386), dass diese Lamé’sche Function zweiter Art elliptische Integrale nur der ersten und zweiten, nicht aber der dritten Gattung enthält; doch beweist er diesen Satz der Kürze wegen nur für den Fall \(\alpha=\beta=\gamma=0\). Hier setzt nun die vorliegende Arbeit ein, indem sie den Beweis des angeführten Satzes auch für die übrigen möglichen Fälle durch Transformation des in (I) enthaltenen Integrals liefert. Speciell wird für \(n=\) 0, 1, 2, 3 die Rechnung soweit durchgeführt, dass alle Ausdrücke auf die Normalform der elliptischen Integrale gebracht werden. Weiter wird die zweite Darstellung, welche Heine für die in Rede stehenden Functionen giebt, untersucht: \[ W(z) = \Pi(x-a)^{\frac12-a}\left\{\int_a^b f(z)dz \int_b^c \frac{f(z)dz}{x-z} - \int_b^c f(z)dz \int_a^b \frac{f(z)dz}{x-z}\right\},\tag{II} \] wo \[ f(x) = \Pi(x-a)^{\frac12-a} P(x) \] ist. Dass \(W(x)\) sich von \(T(x)\) nur durch einen constanten Factor unterscheidet, wird hier durch andere Betrachtungen als bei Heine nachgewiesen. Zugleich wird dieser constante Factor, auf dessen Bestimmung Heine gar nicht eingeht, durch recht umständliche Rechnungen ermittelt. Es wird nämlich \(W(x)\) zunächst für die Fälle \(n=\) 0, 1, 2, 3 auf die Normalform der elliptischen Integrale transformirt. Die Vergleichung der sich ergebenden Resultate mit dem im ersten Teile gefundenen fährt dann den Verfasser auf die Vermutung, dass \[ \frac{W(x)}{T(x)} = 2iwP^{2\alpha}(a)P^{2\beta}(b)P^{2\gamma}(c).C \] ist, wo \(C\) ein numerischer, von \(a\), \(b\), \(c\) unabhängiger Factor ist, während \[ P^{2\alpha}(x) = P(x)\text{ für }\alpha = 0, \] dagegen \[ P^{2\alpha}(x) = \frac{2dPx}{dx}\sqrt{(x-a)(x-b)(x-c)}\text{ für }\alpha = \frac12. \] Durch Betrachtung der speciellen Fälle \(a=b\), resp. \(a=0\), \(b\) klein etc. gelangt der Verfasser zu dem Werte \[ C = (-1)^{\frac n2+\alpha-\beta+\gamma} \frac1{2n+1} \cdot \frac{\Gamma(\frac12)\left(\frac12n-\alpha-\beta-\gamma\right)!}{2^{\alpha+\beta+\gamma}\Gamma \left(\frac12n+\alpha+\beta+\gamma+\frac12\right)}. \] Dies der Inhalt der Arbeit, zu der zu bemerken ist, dass die Wichtigkeit der erlangten Resultate zu. den sehr umfangreichen und wenig durchsichtigen Rechnungen, die der Verfasser nötig hat, in keinem angemessenen Verhältnis steht. Reviewer: Wangerin, Prof. (Halle a. S.) JFM Section:Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 2. Besondere Functionen. D. Kugel- und verwandte Functionen. PDFBibTeX XMLCite \textit{U. Bigler}, Hoppe Arch. (2) 12, 113--154, 225--273 (1893; JFM 25.0828.01)