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A presentation of the theory of Hermite’s form of Lamé’s equation, with a determination of the explicit forms in terms of the \(\wp\)-function for the case \(n\) equal to three. (English) JFM 25.0577.01

Königsberg. Leipzig. Teubner. 85 S. \(8^\circ\) (1893).
Die analytische Theorie der Lamé’schen Differentialgleichung wird im wesentlichen nach den von Herrn Hermite in seiner Arbeit “Sur quelques applications des fonctions elliptiques” (C. R. 1877, F. d. M. IX. 349, JFM 09.0349.01) niedergelegten Principien entwickelt, die Halphen in seinem Werke “Traité des fonctions elliptiques et leurs applications” weiter ausgeführt hat, und zwar in der Weise, dass die Resultate des Herrn Hermite, der die Jacobi’schen Functionen angewandt hat, in der Weierstrass’schen \(\wp\)-Function, die Halphen allein benutzt, dargestellt werden. Die behandelte Gleichung ist: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = (n(n + 1)k^2\operatorname{sn}^2x + h)y, \] der die Form \[ \frac{d^2y}{du^2} = (n(n + 1)k^2\wp(u) + B)y \] entspricht, wo \(h\) und \(B\) willkürliche Parameter sind, \(n\) eine positive ganze Zahl und \(k\) der Modul der elliptischen Function ist. Das Integral wird zunächst als Summe gegeben, in der Form \[ y = F(u) = \frac1{(n-1)!}f^{n-1}(u) + \frac1{(n-3)!}h_1f^{n-3}(u) +\cdots+ h_{\mu-1}f(u) \] für ungerade \(n=2\mu-1\), wo \(f(u)=\frac{\sigma(u+\nu)}{\sigma(u)\sigma(\nu)} e^{(x-\zeta(\nu))u}\), \(h_1\), ..., \(h_{\mu-1}\) die Coefficienten in der Entwickelung \[ y = \frac1{u^{2\mu-1}} + \frac{h_1}{u^{2\mu-3}} +\cdots+ \frac{h_{\mu-1}}u + h_\mu u +\cdots \] sind, wie sie unmittelbar aus der Differentialgleichung erhalten wird, und \(x\) und \(\nu\) so zu bestimmen sind, dass das constante Glied gleich Null und der Coefficient von \(u\) gleich \(h_\mu\) wird, was zwei Bedingungsgleichungen ergiebt. Eine ähnliche Lösung wird für gerade \(n\) gegeben. Die allgemeine Lösung ist \(y=cF(u) + c'F(-u)\). Diese Form wird unbrauchbar, wenn \(\nu\) für ein gegebenes \(B\) Null wird, welches der von Herrn Mittag-Leffler bemerkte Ausnahmefall ist (C.R. XC. 1880, F. d. M. XII. 1880. 361, JFM 12.0361.01). Eine zweite, für jeden Wert von \(B\) gültige Form ist die des Products \[ y = F(u) = \prod_{a=a,b,c\dots}^n \frac{\sigma(u+a)}{\sigma(u)\sigma(a)}e^{u-\zeta(a)}\text{ und }z = F(-u). \] Die Bedingungen für \(a\), \(b\), \(c\), ... werden mit Hülfe des Products zweier Lösungen abgeleitet. Es ist nämlich \[ Y = y.z = \prod(\wp(u)-\wp(a)) = \wp(u)^n + a_1\wp(u)^{n-1} +\cdots+ a_n, \] und die Coefficienten \(a_1\), ..., \(a_n\) können aus der Differentialgleichung dritter Ordnung, der \(Y\) genügt, mittels recurrirender Formeln erhalten werden. Es ist alsdann \[ Y'^2 - 2YY'' + 4[n(n+1)\wp(u)+B]Y^2 = 4C^2\qquad(C\text{ constant}), \] und die Relationen \[ \wp'(a) = \frac{2C}{(\wp(a)-\wp(b))(\wp(a)-\wp(c))\dots},\quad \wp'b = \frac{2C}{(\wp(b)-\wp(a))(\wp(b)-\wp(c))\dots} \] u. s. w. bestimmen im Verein mit \((2n-1)\sum\wp(a)=B\) die Argumente \(a\), \(b\), \(c\), ... der Lösung \(y\).
Der letzte, ausführlichste Teil ist dem eigentlichen Gegenstande der Arbeit, nämlich der Bestimmung der expliciten Werte der verschiedenen vorstehend erwähnten Formen der Lösung für \(n=3\) gewidmet, wobei die Transformation der Summen- und Productenformen der Lösung in einander gezeigt und die im allgemeinen äusserst schwierige Bestimmung der Constanten \(x\) und \(\nu\) nach verschiedenen Methoden ausgeführt wird, wodurch die der Grössen \(a\), \(b\), \(c\) mitgegeben ist vermöge der Relationen \[ x = \zeta(\nu)-\zeta(a)-\zeta(b)-\zeta(c),\quad \nu = a+b+c,\quad\wp(a) + \wp(b) + \wp(c) = \frac B5. \] Die besondere Form, welche die Integrale im Mittag-Leffler’schen Ausnahmefalle annehmen, wird am Schlusse entwickelt.
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