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On ellipsoidal harmonics. (English) JFM 23.0517.01

Der Verfasser bemerkt, dass man die Theorie der Lamé’schen Functionen (“ellipsoidal harmonics”) gewöhnlich auf Lösungen der Laplace’schen Gleichung gründet, indem man dieselben auf passende Weise durch Glieder mit elliptischen Coordinaten als unabhängigen Variabeln ausdrückt, und dass diese von Lamé eingeführte Darstellungsart des Gegenstandes die vollständige Ausbildung durch die Hand von Heine in seinen “Kugelfunctionen” erhalten hat und wahrscheinlich die directeste und wirksamste für alle praktischen Zwecke ist. Nichtsdestoweniger scheinen ihm jedoch die Cartesischen Gestalten dieser Functionen manche Vorteile hinsichtlich der Klarheit und Verständlichkeit zu besitzen; auch ist er durch das Lesen der Green’schen Abhandlung über Ellipsoide von veränderlicher Dichte und durch die Untersuchung von Thomson und Tait über die Kugelfunctionen dazu geführt worden, die Entwickelung des Gegenstandes durch Cartesische Processe zu versuchen.
Indem der Verf. sich mit dem allgemeinen dreiaxigen Ellipsoide beschäftigt, betrachtet er zuerst die Fälle, welche die auf das Innere des Ellipsoids anwendbaren Formen betreffen, danach die für das Aeussere brauchbaren Formen. Vermittelst gewisser zwischen den Lamé’schen und manchen Kugelfunctionen aufgestellten Beziehungen ist es in erster Stelle möglich, die Cartesischen Formen der Lamé’schen Functionen zu erhalten und demnächst in Lamé’schen Functionen eine Entwickelung zu bestimmen, die an der Oberfläche des Ellipsoids willkürlich vorgegebene Werte hat. Als ein besonderer Fall wird der vorgegebene Wert als eine homogene Function der Coordinaten \(x,y,z\) angenommen, und es ist leicht, von da zu dem Falle einer beliebigen, nach aufsteigenden Potenzen von \(x,y,z\) entwickelbaren Function überzugehen. Der Verfasser hat auch den reciproken Abstand zwischen zwei Punkten entwickelt, von denen einer auf der Oberfläche liegt.
Der massgebende Satz für äussere Functionen, auf den viele Entwickelungen der Arbeit sich stützen, bezieht sich auf den Ausdruck dieser Functionen mit Hülfe von Differential-Operationen an dem Potential in einem äusseren Punkte für ein Ellipsoid mit veränderlicher Dichte. Der angezogene Satz wird in ähnlicher Art gefunden, wie bei Clerk Maxwell, als er eine physikalische Deutung einer Kugelfunction ermittelte.
Zur Erläuterung betrachtet der Verfasser das Problem des in einem Körper von ellipsoidischer Gestalt inducirten Magnetismus; ferner in einem äusseren Punkte das Potential einer dünnen von ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsoiden begrenzten Schale, deren Dichte dem Abstande von einem festen Punkte umgekehrt proportional ist; endlich einen Satz über elektrische Capacität.
Der spätere Teil der Abhandlung enthält Untersuchungen über verschiedene innere und äussere Formen der betrachteten Functionen, verwendbar für verlängerte und abgeplattete Sphäroide. Es wird gezeigt, wie die Functionen des verlängerten Sphäroids auf diejenigen des Kreiscylinders und auf die des Umdrehungs-Paraboloids zurückkkommen. Der Schlussteil beschäftigt sich mit Beweisen der Additionstheoreme für Lamé’sche Functionen, für Kugelfunctionen zweiter Art und für Bessel’sche Functionen.

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