Greenhill, A. G. Lamé’s differential equation. (English) JFM 21.0330.01 Lond. M. S. Proc. XX, 213-224 (1889). Zweck der Arbeit ist die Darstellung der Lösungen der Lamé’schen Gleichung mittels Anwendung der Weierstrass’schen Bezeichnung der elliptischen Functionen statt der Jacobi’schen, deren sich Herr Hermite in seiner berühmten Arbeit (Sur quelques applications des fonctions elliptiques. Paris 1885) über diesen Gegenstand bedient hatte. Die Differentialgleichung lautet alsdann \[ \frac{1}{y}\;\frac{d^2 y}{dx^2} = n (n + 1) \wp x + h \] und eine Particularlösung kann dargestellt werden in der Form \[ F(x) = D^{n - 1} \varphi (x) - A_1 D^{n - 3} \varphi(x) + A_2 D^{n - 5} \varphi(x) + \cdots, \] wo \[ \varphi (x) = \frac{\sigma (x + \omega)}{\sigma x \sigma \omega}\;e^{(\lambda - \zeta \omega)x}, \] und in der anderen \[ \varPhi (x) = \frac{\sigma (x + a_1)\sigma(x + a_2) \dots (\sigma (x + a_n)}{\sigma a_1 \sigma a_2 \dots \sigma a_n (\sigma x)^n}\;e^{( - \zeta a_1 - \zeta a_2 - \cdots - \zeta a_n)x}. \] Die allgemeine Lösung ist \[ CF(x) + C'F(-x), \quad \text{resp.} \quad C \varPhi (x) + C' \varPhi (- x). \] Die Vergleichung der beiden Lösungen \(F(x)\) und \(\varPhi (x)\) ergiebt die Beziehungen \[ a_1 + a_2 + \cdots + a_n = w, \quad \zeta \omega - \zeta a_1 - \zeta a_2 - \cdots - \zeta a_n = \lambda. \] Die Fälle \(n = 1, 2, 3\) werden ausgeführt. Zum Schluss wird eine Reihe besonderer Fälle der Lamé’schen Gleichung betrachtet, die gewissen physikalischen Problemen ihren Ursprung verdanken, und bei denen die in der Gleichung auftretende elliptische Function in eine trigonometrische oder exponentiale oder rationale Function ausartet. Reviewer: Hamburger, Prof. (Berlin) JFM Section:Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Capitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen. PDFBibTeX XMLCite \textit{A. G. Greenhill}, Proc. Lond. Math. Soc. 20, 213--224 (1889; JFM 21.0330.01) Full Text: DOI