Heun, K. Contributions to the theory of the Lamé functions. (Beiträge zur Theorie der Lamé’schen Functionen.) (German) JFM 20.0498.01 Math. Ann. XXXIII, 180-196 (1889). Irgend \(n\) unabhängige Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung erfahren bei Umläufen der unabhängigen Variabeln gewisse lineare Substitutionen, welche in ihrer Gesamtheit eine Gruppe bilden. Der Verfasser geht nun von der Bemerkung aus, dass der Zusammenhang gewisse Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit Kettenbruch-Entwickelungen unmittelbar gestattet, die zugehörigen Gruppen zu bestimmen. So ergiebt sich z. B. die Gruppe der Differentialgleichung der Kugelfunctionen aus der bekannten Gleichung \[ Q^{(n)}(x)=\tfrac12\log\;\frac{x+1}{x-1}\;P^{(n)}(x)-Z^{(n)}(x), \] welche bei der Kettenbruch-Entwickelung von \(\tfrac12\;\log\frac{x+1}{x-1}\) auftritt. Die Lamé’schen Functionen stehen, wie Heine gefunden hat, in Beziehung zu der Kettenbruch-Entwickelung vollständiger elliptischer Integrale dritter Gattung. Heine bewies, dass die Teilnenner dieser Entwickelung bis zu einem gewissen linear sind, und dass dieser letztre quadratisch ist. Wie die Teilnenner hierüber hinaus beschaffen sind, blieb fraglich. Die gruppentheoretische Interpretation gestattet nun dem Verfasser, diesen Punkt zu erledigen. Es ergiebt sich, dass die Teilnenner, welche auf den quadratischen folgen, wieder sämtlich linear sind. Da die Lamé’schen Functionen specielle Riemann’sche Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten sind, so knüpft die Untersuchung an die im Referate S. 419 dieses Bandes (siehe JFM 20.0419.02) besprochenen Abhandlung desselben Verfassers an. Reviewer: Hurwitz, Prof. (Königsberg i.Pr.) Cited in 2 Documents MSC: 33E10 Lamé, Mathieu, and spheroidal wave functions JFM Section:Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 2. Besondere Functionen. D. Kugel- und verwandte Functionen. Citations:JFM 20.0419.02 PDFBibTeX XMLCite \textit{K. Heun}, Math. Ann. 33, 180--196 (1889; JFM 20.0498.01) Full Text: DOI EuDML