×

On Lamé functions with complex parameters. (Ueber Lamé’sche Functionen mit complexen Parametern.) (German) JFM 20.0496.04

Diss. Königsberg i. Pr (1888).
Die Lamé’schen Functionen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \(E_s^{(n)}(\mu)\) hängen bekanntlich ausser von ihrem Argumente \(\mu\) von zwei gegebenen Parametern \(b,c\) sowie von der Wurzel \(v\) einer algebraischen Gleichung ab, die für gerade \(n\) vom Grade \(\frac n2+1\) oder \(\frac n2\) ist, je nach der Klasse, der \(E\) angehört, für ungerade \(n\) von der Ordnung \(\frac{n+1}2\) oder \(\frac{n-1}2\). Man weiss ferner, dass für reelle Werte von \(b\) und \(c\) die Wurzeln einer jeden der erwähnten algebraischen Gleichungen reell und von einander verschieden sind [cf. Heine, Handbuch der Kugelfunctionen, 2. Aufl., Bd. I, Teil 2, Cap. 3]. Für complexe Werte von \(b\) und \(c\) dagegen kann es vorkommen, dass die algebraische Gleichung für \(v\) eine Doppelwurzel besitzt, wenn nämlich \(b\) und \(c\) so gewählt werden, dass die Discriminante der Gleichung verschwindet. Tritt dieser Fall ein, so fallen von den \(2n+1\) Functionen \(E\) der Ordnung \(n\) zwei (im allgemeinen aber nicht mehr) zusammen. Es entsteht dann die Frage, welche Function an Stelle der ausfallenden zu setzen ist, um bei Entwickelungen nach den \(E\) die nötige Zahl \(2n+1\) von Functionen der Ordnung \(n\) zu erhalten. Diese Frage lässt sich, wie in der vorliegenden Arbeit gezeigt wird, mit Hülfe des folgenden Grenzüberganges beantworten.
Es seien \(v_1\) und \(v_2\) die beiden Wurzeln der algebraischen Gleichung \(f(v)=0\), die schliesslich zusammenfallen sollen. Dann lege man den verfügbaren Grössen in den Coefficienten der Gleichung solche Werte bei, dass \(v_1\) und \(v_2\) nahe gleich sind, die Discriminante \(\varDelta\) der Gleichung also nur wenig von Null verschieden ist. Für derartige Werte von \(\varDelta\) lassen sich \(v_1\) und \(v_2\), da für \(\varDelta=0\) nur diese beiden, aber nicht mehr Wurzeln der Gleichung zusammenfallen, folgendermassen darstellen: \[ \begin{aligned} \\ v_1=w_1+w_2\sqrt\varDelta,\\ v_2=w_1-w_2\sqrt\varDelta, \end{aligned} \] wobei \(w_1\) und \(w_2\) Grössen sind, die sich nach steigenden Potenzen von \(\varDelta\) entwickeln lassen. Die den beiden Wurzeln \(v_1\) und \(v_2\) entsprechenden Lamé’schen Functionen \(E_1(\mu)\) und \(E_2(\mu)\) nehmen dementsprechend für kleine Werte von \(\varDelta\) die Form an: \[ \begin{aligned} \\ E_1(\mu)={\mathfrak E}_1(\mu)+w_2\sqrt\varDelta{\mathfrak E}_2(\mu),\\ E_2(\mu)={\mathfrak E}_1(\mu)-w_2\sqrt\varDelta{\mathfrak E}_2(\mu). \end{aligned} \] Für \(\varDelta=0\) fallen \(E_1\) und \(E_2\) zusammen. An Stelle des ausfallenden \(E_2\) tritt die Function \[ {\mathfrak E}_2(\mu)=\frac{\partial E_1(\mu)}{\partial v_1}. \] Der Verfasser führt die Untersuchung zuerst für Lamé’sche Functionen mit zwei Variabeln (Producte zweier Lamé’schen Functionen) durch. An Stelle des Productes \(E_2(\mu)E_2(\nu)\) tritt, falls \(v_1=v_2\) wird, die Function \[ \frac{\partial[E_1(\mu)E_1(\nu)]}{\partial v_1}, \] und diese genügt derselben partiellen Differentialgleichung wie das Product \(E_1(\mu)E_1(\nu)\), während bei den Lamé’schen Functionen einer Variabeln die Differentialgleichung, durch welche die Ersatzfunction \({\mathfrak E}_(\mu)\) bestimmt ist, sich von der eigentlichen Lamé’schen Gleichung noch um ein von \(E_1\) abhängiges Glied unterscheidet.
Der Verfasser zeigt weiter, welche Aenderungen in der Entwickelung der auf elliptische Coordinaten transformirten Kugelfunctionen nach Producten Lamé’scher Functionen eintritt, wenn \(v_1\) und \(v_2\) zusammenfallen; ferner wie sich für \(v_1=v_2\) die Bestimmung der Coefficienten bei der Entwickelung einer beliebigen Function nach jenen Producten gestaltet; insbesondere wird die Reihe für die reciproke Untersuchung auf die Lamé’schen Functionen höherer Ordnung (cf. Heine, Kugelfunctionen, Bd. I., T. 3) ausgedehnt.

MSC:

33E10 Lamé, Mathieu, and spheroidal wave functions