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Sur les surfaces et les courbes tétraédrales symétriques. (French) JFM 19.0816.02

Mit dem Namen surface tédraédrales symétriques hat de la Gournerie Flächen bezeichnet, welche in den tetraedrischen Coordinaten \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) durch Gleichungen von der Form \[ \left( \frac \alpha a \right)^m + \left( \frac \beta b \right)^m + \left( \frac \gamma c \right)^m + \left( \frac \delta d \right)^m=0 \] definirt werden, wo \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) Constante sind. Er hat in den Jahren 1865-66 der Pariser Akademie drei Abhandlungen über dieselben eingereicht und dabei auch die analogen ebenen Curven betrachtet, die er triangular nennt, sowie solche Raumcurven, welche den Durchschnitt zweier tetraedrischen Flächen mit gleichen Exponenten \(m\) bilden. Der Herr Verfasser setzt diese Untersuchungen nun nach anderen Gesichtspunkten fort, namentlich dadurch, dass er gewisse Infinitesimaleigenschaften in Betracht zieht. Im ersten Teile untersucht er die Krümmung der Flächen und der triangulären Curven, über welche er ein interessantes Theorem aufstellt. Uebrigens ist seine Betrachtungsweise eine sehr verallgemeinerte, so dass er das erhaltene Resultat auch auf Flächen und ebene Curven ausdehnt, deren Gleichungen sind \[ L_1^{\alpha_1} L_2^{\alpha_2} L_3^{\alpha_3} L_4^{\alpha_4}=A,\quad L_1^{\alpha_1} L_2^{\alpha_2} L_3^{\alpha_3}=A, \] wo die \(L\) lineare Functionen der Coordinaten sind, \(A\) eine Constante bedeutet, und die Summe der vier oder drei constanten Exponenten \(\alpha\) gleich Null ist. Diese Curven und Flächen sind von den Herren F. Klein und S. Lie von einem anderen Gesichtspunkte aus untersucht (C. R. LXX, F. d. M. II. 1870.632, JFM 02.0632.01).
Für die triangulären Curven ergiebt sich der Satz: Der Kegelschnitt, welcher dem Dreieck des Systems umschrieben ist und die trianguläre Curve in einem Punkte \(P\) berührt, hat in \(P\) einen Krümmungsradius, welcher zu demjenigen der Curve in \(P\) in einem constanten Verhältnis steht.
Im zweiten Teile wird eine analoge Eigenschaft der tetraedralen Raumcurven begründet, bei welcher statt der berührenden Kegelschnitte osculirende Raumcurven dritter Ordnung auftreten. Auch werden daselbst die singulären Punkte der triangulären Flächen untersucht, und es werden die zu der Curve gehörigen Abel’schen Integrale erster Ordnung auf einfache Typen reducirt, so dass man entscheiden kann, in welchen Fällen dieselben auf Elementarfunctionen oder auf elliptische Integrale führen. Zuletzt werden in diesem Abschnitte einige trianguläre Curven dritter und vierter Ordnung specieller betrachtet, wodurch sich ein neuer Beweis eines von den Herren Bonnet und Beltrami und vom Herrn Verfasser selbst bereits bewiesenen Satzes ergiebt.
Im dritten Teil werden die asymptotischen Linien der tetraedralen Fläche behandelt. Dieselben sind zwar bereits bekannt. Der Herr Verfasser geht aber auf dieselben ein, weil er die Untersuchung in Verbindung bringt mit der entsprechenden Untersuchung bei Flächen, deren Gleichung ist \[ \text{(c)}\quad f_1(L, M) = f_2(N, P), \] in welcher \(L\), \(M\), \(N\), \(P\) lineare Functionen der Coordinaten sind, und \(f_1\) und \(f_2\) homogene Functionen desselben Grades bedeuten. Hierbei wird der Herr Verfasser zu einer neuen Transformation geführt, welche mit Hülfe eines Integrales \(\int \frac{dt}{T^2}\) ausgeführt wird, wo \(T\) eine Function von \(t\) ist, welche von der obigen Gleichung abhängt. Wendet man diese Transformation auf die tedraedralen Flächen an, so kommt man auf folgende Integrale \[ \int \frac{dt}{1+t^\mu} \quad \text{und} \quad \int \frac{dt}{ (1+t^\mu)^{\frac 2 \mu}}, \] und es zeigt sich, dass die Differentiale rational gemacht werden können, wenn \(\mu\) von der Form \(\pm \frac{4}{2\kappa+1}\) ist.
Auch in diesem Teile wird zum Schluss der specielle Fall betrachtet, wo die Fläche (c) vom vierten Grade ist, und es wird die transformirte Fläche ebenfalls in Betracht gezogen.
Dies ist im wesentlichen die Inhaltsangabe, welche der Herr Verfasser selbst der umfangreichen Arbeit vorausgeschickt hat. Auf das Detail der Rechnung kann hier nicht eingegangen werden.

Citations:

JFM 02.0632.01
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Full Text: DOI Numdam EuDML