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On a special case of the differential equation of Lamé. (Sur un cas spécial de l’équation différentielle de Lamé.) (French) JFM 19.0333.03

Die von Herrn Hermite in seiner Abhandlung “Sur quelques applications des fonctions elliptiques” angegebene Methode zur Integration der Lamé’schen Gleichung \[ y'' - [n (n + 1) \; k^2 \; \text{sn}^2 x + h] \; y = 0 \] ist nicht mehr anwendbar, wenn die daselbst als einfaches Element dienende Function \( f (x) \) keinen Pol hat. Dies tritt im besonderen stets ein, wenn der Gleichung durch die speciellen doppelt-periodischen Functionen zweiter Art genügt wird, die Herr Mittag-Leffler in den C. R. XC. 177 ff. (F. d. M. XII. 1880. 361, JFM 12.0361.01) behandelt hat. Diese sind dadurch charakterisirt, dass die Multiplicatoren, die sie beim Zuwachs des Arguments um die Perioden \( 2K, 2iK' \) empfangen, von der Form \( e^{2 \lambda K}, e^{2 \lambda i K'} \) sind. Der Verfasser entwickelt die Bedingung dafür, dass die Lamé’sche Gleichung durch eine Function der betrachteten Art integrirt wird, und stellt den Integralausdruck dar. Als einfaches Element wendet er die Function \[ f (x) = \left( \frac {A l' (x)}{Al (x)} + iJ' \right) e^{\lambda (x - iK')} \] an. Die fragliche Bedingung erscheint in der Form, dass \( \lambda^2 \) neben der von Herrn Mittag-Leffler l. c. für sie aufgestellten Bedingungsgleichung noch einer zweiten genügen muss. Die Elimination von \( \lambda^2 \) ergiebt die Werte von \( h \), für welche die Lamé’sche Gleichung die specielle Art von Integralen hat. Wie die darauf folgenden Anwendungen zeigen, muss \( n \geqq 3 \) sein, für \( n = 3 \) und \( n = 4 \) werden die Gleichungen explicite gegeben. Ihre Anzahl ist im ersten Falle 2, im zweiten Falle 3.

Citations:

JFM 12.0361.01
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References:

[1] Mittag-Leffler,Sur les fonctions doublement périodiques de seconde espèce. Comptes rendus de l’académie des sciences de Paris, 26 Janvier 1880.
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