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Remarques sur les conditions d’intégrabilité. (French) JFM 19.0268.02

Nouv. Ann. (3) VI. 274-279, 305-311 (1887).
Die bekannten Bedingungen dafür, dass ein linearer Ausdruck in \( dx_1, dx_2, \dots, dx_n \) ein vollständiges Differential ist, hat der Verfasser in einem früheren Aufsatze (Nouv. Ann. (2) XIX. 153) durch ein neues System ersetzt. Im gegenwärtigen wird davon eine Verallgemeinerung hergeleitet, aus der der Satz hervorgeht: “Damit die Gleichungen \[ du_k = X_{k1} dx_1 + X_{k2} dx_2 + \cdots + X_{kn} dx_n \] vollständig integrabel seien, ist es notwendig und hinreichend, dass man für beliebige \( x_1, x_2, \dots, x_n, k, i \) erst hat \[ \frac {\partial X_{k1}}{\partial x_i} + \sum_{\mu} \frac {\partial X_{k1}}{\partial u_{\mu}}\;X_{\mu i} = \frac {\partial X_{ki}}{\partial x_1} + \sum_{\mu} \frac {\partial X_{ki}}{\partial u_{\mu}}\;X_{\mu 1} , \] dann für \( x_1 = x_1^0 \) , aber beliebig \( x_2, x_3, \dots, x_n, k, i \) \[ \frac {\partial X_{k2}}{\partial x_i} + \sum_{\mu} \frac {\partial X_{k2}}{\partial u_{\mu}} X_{\mu i} = \frac {\partial X_{ki}}{\partial x_2} + \sum_{\mu} \frac {\partial X_{ki}}{\partial u_{\mu}} X_{\mu 2} , \] und so fort.” Um jenes System zu integriren, integrire man das System \[ \frac {du_1}{dx_1} = X_{11}, \quad \frac {du_2}{dx_1} = X_{21}, \quad \dots, \quad \frac {du_m}{dx_1} = X_{m1} \] und bestimmte die Werte \( u_1^0, u_2^0, \dots \) von \( u_1, u_2, \dots \) für \( x_1 = x_1^0 \) mittels der Gleichungen \[ \frac {du_1^0}{dx_2} = X_{12}^0, \quad \frac {du_2^0}{dx_2} = X_{22}^0, \quad \dots, \quad \frac {du_m^0}{dx_2} = X_{m2}^0 , \] wo \( X_{12}^0 \) die Werte von \( X_{12} \) für \( x_1 = x_1^0 \) bezeichnen, dann die Werte \( u_1^{00}, u_2^{00}, \dots \) von \( u_1^0, u_2^0, \dots \) für \( x_2 = x_2^0 \) mittels der Gleichungen \[ \frac {du_1^{00}}{dx_3} = X_{13}^{00}; \quad \frac {du_2^{00}}{dx_3} = X_{23}^{00}, \quad \dots, \quad \frac {du_m^{00}}{dx_3} = X_{m3}^{00} \] und so fort.
Full Text: EuDML