Poincaré, H. Sur les déterminants d’ordre infini. (French) JFM 18.0117.01 Bull. Soc. Math. Fr. 14, 77-90 (1886). Herr Hill, Astronom, hatte die linearen homogenen Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf eine besondere Art behandelt.Ist eine solche auf die Form gebracht: \[ \frac{d^2w}{dt^2}+\vartheta w=0, \] so denke man sich \(\vartheta\) als Function von \(t\) in der Form gegeben: \[ \vartheta=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}\vartheta_n e^{nit}\qquad (i=\sqrt{-1},\quad\vartheta_n=\vartheta_{-n}). \] Dann erhält man zwei unabhängige particuläre Integrale (und damit die allgemeine Lösung) der gegebenen Gleichung durch die Formeln: \[ w_1=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}b_ne^{(n+c)it},\quad w_2=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}b_n'e^{-(n+c)it}. \] Hier sind \(c\) und die \(b_n\) passend gewählte Constante (\(b_n'\) ist die zu \(b_n\) conjugirte Grösse). Die Reihe für \(w_1\) muss zunächst convergiren.Soll nun \(w_1\) der Differentialgleichung genügen, so führt dies auf die Relationen: \[ \sum_p\vartheta_{n-p}b_p-(n+c)^2b_n=0\qquad\begin{pmatrix} p=-\infty\quad\text{bis}\quad+\infty \\ n=-\infty\quad\text{bis}\quad+\infty\end{pmatrix}, \] d. h. auf unendlich viele lineare Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten.Herr Hill hatte diese Gleichungen unbedenklich nach der gewöhnlichen Methode behandelt, indem er zuvörderst für \(n,p\) endliche Zahlen nahm und dann zu den Grenzwerten der so erhaltenen Ausdrücke überging.Um die Legitimität dieses Verfahrens zu prüfen, legte sich der Verfasser die allgemeine Frage vor, wann eine unendliche Reihe von absolut convergenten und verschwindenden Summen, die nach den nämlichen linearen Unbekannten fortschreiten, nach letzteren aufgelöst werden könne.Seine Methode ist eine Art Variation von Constanten. Sind nämlich die Unbekannten bezeichnet mit \(A_i\) \((i=1,2,\dots,\infty)\), und giebt es ein particuläres Lösungssystem \[ A_i=B_i, \] so frage man: Wie lassen sich die Werte der Factoren \(h_i\) bestimmen, sodass auch \[ A_i=h_iB_i \] Lösungen repräsentiren ?Es zeigt sich, dass man, solange die \(h\) unter gewissen Grenzen bleibende Constante sind, in der That lauter Lösungen gewinnt, und wenn auch nicht bewiesen werden kann, dass damit alle Lösungen erhalten werden, so sind es doch für die Anwendungen hinreichend allgemeine Lösungen.Die ursprüngliche Frage nach der Erfüllung gewisser Gleichheiten wird so zurückgeführt auf die gewisser Ungleichheiten. Der Beweis stützt sich auf zwei bekannte Theoreme von Weierstrass und Mittag-Leffler, nach denen man eine ganze, resp. meromorphe Function construiren kann, die an unendlich vielen vorgegebenen Stellen und nur an diesen Null, resp. mit vorgegebenen Residen unendlich wird.Die Coefficienten der gegebenen Gleichungen müssen gewisse Bedingungen erfüllen, wenn überhaupt Lösungen existiren sollen.Der algebraische Teil des Beweises beschäftigt sich mit dem Nachweis, dass die Determinante, die man zunächst aus einer endlichen Zahl \(n\) von verticalen und horizontalen Coefficienten bildet, stets unter einer gewissen Grenze bleibt, auch wenn \(n\) beliebig wächst, und dass diese Eigenschaft der Determinante sich erhält, auch wenn eine gewisse Reihe ihrer Elemente gleich Null gesetzt wird.In dem von Herrn Hill untersuchten Falle sind die erforderlichen Bedingungen zur Auflösbarkeit der Gleichungen, sowie zur Ausführbarkeit der nötigen Grenzprocesse thatsächlich erfüllt.Eine frühere Arbeit von Herrn Kötteritzsch, die einen Teil der vom Verfasser gewonnenen Resultate enthält, ist offenbar dem Verfasser unbekannt geblieben. Reviewer: Meyer, F., Prof. (Clausthal) Cited in 1 ReviewCited in 21 Documents MSC: 34A30 Linear ordinary differential equations and systems 15A15 Determinants, permanents, traces, other special matrix functions JFM Section:Zweiter Abschnitt. Algebra. Capitel 3. Elimination und Substitution, Determinanten, symmetrische Functionen. PDFBibTeX XMLCite \textit{H. Poincaré}, Bull. Soc. Math. Fr. 14, 77--90 (1886; JFM 18.0117.01) Full Text: DOI Numdam EuDML