×

On the equilibrium of a fluid mass animated by a rotational movement. (Sur l’équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation.) (French) JFM 17.0864.02

C. R. 100, 346-348 (1885); 100, 1068-1070 (1885); 101, 307-349 (1896); Acta Math. 7, 259-380 (1885).
Die Theorie der Gleichgewichtsfiguren homogener rotirender Flüssigkeiten, deren Teilchen sich nach dem Newtonschen Gesetze anziehen, erfährt durch die umfangreiche Arbeit des Herrn Poincaré in den Acta Mathematica [die Noten in den C. R. sind nur Auszüge derselben] eine erhebliche Förderung. Insbesondere wird die Existenz einer Reihe von neuen Gleichgewichtsfiguren abgeleitet und die Frage nach der Stabilität der einzelnen Figuren erledigt. Dabei ergeben sich verschiedene Sätze, die von Thomson und Tait in der zweiten Auflage ihres “Treatise on natural philosophy” ohne Ableitung mitgeteilt sind [cf. JFM 15.0801.01; JFM 16.0793.02]. Die hauptsächlichsten Resultate der vorliegenden Arbeit sind indessen völlig neu.
Herr Poincaré beginnt mit der Betrachtung eines beliebigen Massensystems, dessen Lage durch \(n\) Größen \(x_1,x_2,\dots,x_n\) definirt ist. Die auf das System wirkenden Kräfte mögen eine Kräftefunction \(F\) besitzen, die ausser den Grössen \(x_1,\dots,x_n\) noch einen variabeln Parameter \(y\) enthält. Die Gleichgewichtsbedingungen
\[ \frac{\partial F}{\partial x_1}=\,\frac{\partial F}{\partial x_2}=\dots=\,\frac{\partial F}{\partial x_n}=0 \tag{1} \]
mögen \(k\) verschiedene Wurzelsysteme für \(x_1,\dots,x_n\) ergeben oder, wie Herr Poincaré mit Rücksicht darauf, dass \(F\) und damit die einzelnen Wurzelsysteme von \(y\) abhängen, sich ausdrückt, \(k\) lineare Reihen von Wurzeln und damit \(k\) lineare Reihen verschiedener Gleichgewichtslagen. Es kann nun der Fall eintreten, dass für einen speciellen Wert \(y=\alpha\) zwei oder mehr Wurzelreihen und damit verschiedenartige Gleichgewichtslagen zusammenfallen. Eine solche Gleichgewichtslage wird als “Bifurcationsform” bezeichnet; das Charakteristische derselben besteht darin, dass jede unendlich kleine Aenderung von \(y\) statt der einen zwei neue, unter einander unendlich wenig verschiedene Gleichgewichtslagen giebt. Andrerseits kann auch der Fall eintreten, dass bei Variation von \(y\) für den speciellen Wert \(y=\alpha\) zwei Wurzelreihen zusammenfallen, dass beide Reihen aber bei weiterer Variation von \(y\) imaginär werden; die dem \(y=\alpha\) entsprechende Gleichgewichtslage wird dann “Grenzform” genannt. In beiden Fällen nimmt die aus den zweiten Differentialquotienten der Function \(F\) nach den Grössen \(x_1,x_2,\dots,x_n\) gebildete Determinante \(d\), wenn man darin mittels der Gleichungen (1) die \(x_1,x_2,\dots,x_n\) durch \(y\) ausdrückt, für \(y=\alpha\) den Wert Null an. Wenn \(\varDelta\) für irgend einen Wert von \(y\) nicht verschwindet, so muss eine unendlich kleine Aenderung von \(y\) eine einzige neue Gleichgewichtslage ergeben.
Es wird weiter die zweite Variation von \(F\) betrachtet und so umgeformt gedacht, dass nur die Quadrate der Variabeln vorkommen; die Coefficienten derselben werden als “Stabilitätscoefficienten” bezeichnet. Da \(\varDelta\) jetzt das Product der Stabilitätscoefficienten ist, so muss sowohl für eine Grenzform, als für eine Bifurcationsform einer dieser Coefficienten verschwinden. Für eine Bifurcationsform ist ferner erforderlich, dass für den betreffenden Wert \(y=\alpha\) einer der Stabilitätscoefficienten und damit \(\varDelta\) sein Vorzeichen wechselt. Dies muss für jede der beiden Wurzelreihen, die in der Bifurcationsform zusammenfallen, stattfinden. Wenn daher für eine dieser Reihen stabiles, für die zweite instabiles Gleichgewicht bestand, so wechselt die Art des Gleichgewichts bei Ueberschreitung des Wertes \(y=\alpha\).
Die bisher aufgestellten Begriffe und Sätze lassen sich, wie an einem speciellen Beispiel gezeigt wird, auf den Fall übertragen, in denn die Anzahl der Variabeln \(x_1,\dots,x_n\), welche die Lage des Systems bestimmen, unendlich gross ist, und damit ist die Grundlage für die Behandlung von Flüssigkeitsmassen, die beliebigen Kräften unterworfen sind, gegeben. Herr Poincaré sagt von den Schlüssen, die zur Ausdehnung auf unendlich viel Variable führen, dieselben seien zwar nicht absolut einwandsfrei; aber man könne in der Mechanik hinsichtlich des Unendlichen nicht dieselbe Strenge verlangen wie in der reinen Analysis. Keinenfalls unterliegt das folgende, auf die besagte Art abgeleitete Princip einem Zweifel: Wenn auf irgend ein mechanisches System, welches unter der Wirkung gewisser Kräfte im stabilen Gleichgewicht ist, unendlich kleine störende Kräfte wirken, so nimmt das System unter der Einwirkung dieser neuen Kräfte eine neue, von der vorigen unendlich wenig verschiedene stabile Gleichgewichtslage an; insbesondere gilt dies für Flüssigkeitsmassen.
Die wichtigsten Resultate seiner Arbeit gewinnt Herr Poincaré durch Anwendung der vorstehenden Betrachtungen auf die ellipsoidischen Gleichgewichtsfiguren, für welche die Rotationsgeschwindigkeit \(\omega\) die Rolle des variabeln Parameters spielt. Die hinsichtlich dieser Gleichgewichtsfiguren bekannten Resultate kann man folgendermassen zusammenfassen: die Ellipsoide bilden, falls \(\omega\) zwischen 0 und 4\(\pi\).0,093 variirt, vier lineare Reihen derart, dass zu jedem \(\omega\) zwei Rotationsellipsoide und zwei Jacobische Ellipsoide [beide mit denselben Axen, aber das eine gegen das andere um 90 Grad gedreht] gehören; bei \(\omega^2=4\pi.0,093\) fallen die beiden Jacobischen mit einem der Rotationsellipsoide zusammen, und dieses ist gleichzeitig eine Grenzform und eine Bifurcationsform. Von \(\omega^2=4\pi.0,093\) an existiren nur noch zwei Reihen, deren jede aus Rotationsellipsoiden besteht; \(\omega^2=4\pi.0,112\) endlich ist eine Grenzform, weil von hier ab überhaupt keine ellipsoidische Gleichgewichtsfigur mehr existirt. Es fragt sich nun, ob es unter den Ellipsoiden noch weitere Bifurcationsformen giebt, von denen man zu neuen Reihen von Gleichgewichtsfiguren gelangen kann. Um diese Frage zu beantworten, ist es nötig, die Stabilitätscoefficienten eines Ellipsoids zu berechnen und zu untersuchen, unter welchen Umständen dieselben verschwinden; die Stabilitätscoefficienten aber sind die Factoren in der zweiten Variation der potentiellen Energie der ganzen Flüssigkeitsmasse. Eine beliebige Variation der Flüssigkeitsmasse ergiebt sich dadurch, dass jeder Punkt der Oberfläche des Ellipsoids längs seiner Normale eine unendlich kleine Verschiebung \(\zeta\), die teils positiv, teils negativ sein kann, erfährt. Für die potentielle Energie \(W\) der deformirten Flüssigkeit wird zunächst durch einfache Betrachtungen die Gleichung gefunden: \[ W=W_0-\tfrac 12\int g\zeta^2\,d\omega+\tfrac 12\iint\,\frac{d\omega d\omega'\zeta\zeta'}{E}\cdot \tag{2} \]
Hier ist \(W_0\) der Wert von \(W\) vor der Deformation, \(g\) die Resultante aus der Anziehung der Flüssigkeitsteilchen unter einander und der Centrifugalkraft, \(d\omega\) und \(d\omega'\) Oberflächenelemente des ursprünglichen Ellipsoids, \(E\) die Entfernung der Elemente \(d\omega\) und \(d\omega'\). Für einen Punkt der Oberfläche des Ellipsoids ist ferner, falls man die Anziehung des durch die Deformation entstandenen Wulstes gegenüber der Anziehung des Ellipsoids vernachlässigt, die Kraft \(g\) umgekehrt proportional der Größe
\[ l = \frac{P}{\varrho\sqrt{\varrho^2-b^2}\sqrt{\varrho^2-c^2}},\]
wo \(P\) das vom Mittelpunkt auf die Tangentialebene des betreffenden Punktes gefällte Lot, \(\varrho, \sqrt{\varrho^2-b^2},\sqrt{\varrho^2-c^2}(b<c)\) die Halbaxen des Ellipsoids bezeichnen; die Rotation erfolgt um die kürzeste Axe \(\sqrt{\varrho^2-c^2}\). Der Proportionalitätsfactor für 9 ergiebt sich leicht durch Anwendung auf die Endpunkte der Axe \(\sqrt{\varrho^2-c^2}\). Der Proportionalitätsfactor für \(g\) ergiebt sich leicht durch Anwendung auf die Endpunkte der Axe \(\sqrt{\varrho^2-c^2}\), und es wird
\[ g.l = \tfrac\;43\pi R_1S_1. \]
Darin ist \(R_1=\sqrt{\varrho^2-c^2}\) und \(S_1\) die zu \(R_1\) conjugirte Lamésche Function, d. h. \(S_1\), ist das zweite Integral derjenigen Laméschen Differentialgleichung, deren erstes Integral \(R_1\) ist. Sind ferner \(\varrho,\mu,\nu\) die elliptischen Coordinaten eines Punktes des Raumes, also \(\mu, \nu\) die elliptischen Coordinaten eines Punktes der betrachteten Ellipsoidfläche, so kann man die willkürliche Function \(\,\frac \zeta l\) in eine convergente, nach Laméschen Functionen von \(\mu\) und \(\nu\) fortschreitende Reihe entwickelt denken
\[ \frac \zeta l=\Sigma A_iM_i(\mu).N_i(\nu). \]
Setzt man diese Reihe sowie den Ausdruck für \(g\) in (2) ein, so ergiebt sich durch Anwendung gewisser schon von Liouville gefundener Integralsätze, welche die Laméschen Functionen betreffen, als schließlicher Ausdruck
\[ W=W_0-\,\frac{4\pi}{2}\Sigma A_i^2\int\left(\frac{R_1S_1}{3}-\,\frac{R_iS_i}{2n+1}\right)lM_i^2N_i^2d\omega. \tag{3} \]
Hier sind \(R_i\) und \(S_i\) wieder Lamé’sche Functionen erster und zweiter Art von \(\varrho\), und zwar von der Ordnung \(n\). Damit ist die Variation der potentiellen Energie gefunden \(=W-W_0\). Da die variirte Fläche durch die \(A_i\) bestimmt ist und die Producte dieser Größen in \(W-W_0\) nicht vorkommen, so sind die Factoren der einzelnen \(A_i^2\) der obigen Reihe die gesuchten Stabilitätscoefficienten. Soll eines der betrachteten Ellipsoide eine Bifurcationsform sein, so muss einer dieser Coefficienten verschwinden, also \(\varrho\) der transcendenten Gleichung genügen
\[ \frac{R_1S_1}{3}-\,\frac{R_iS_i}{2n+1}=0. \tag{4} \]
Von dieser Gleichung, die für \(i=n=1\) identisch erfüllt wird, wird nun gezeigt, daß sie, falls \(n>1\) und \(R_i\) nicht durch \(\sqrt{\varrho^2-c^2}\) teilbar ist, stets eine reelle Wurzel \(\varrho\) hat, die \(>c\), dagegen keine solche Wurzel, falls \(R_i\) den Factor \(\sqrt{\varrho^2-c^2}\) hat, wie es bei einem Teil der Lamé’schen Functionen erster Art stattfindet. Der Fall \(n=1\) und \(R_i\), nicht durch \(\sqrt{\varrho^2-c^2}\) teilbar giebt ebenfalls keine Wurzel.
Wenn nun für irgend ein \(i\) (resp. \(n\)) Gleichung (4) erfüllt ist und damit einer der Stabilitätscoefficienten verschwindet, so weiss man, dass das Ellipsoid, das bei constantem \(b\) und \(c\) durch den betreffenden Wurzelwert \(\varrho\) bestimmt ist, eine Bifurcationsform bildet. Ist \(\omega_n\) der zu diesem \(\varrho\) gehörige Wert der Winkelgeschwindigkeit, so gehören zu der Winkelgeschwindigkeit \(\omega_n+\varepsilon\) zwei mögliche Gleichgewichtsfiguren, ein Ellipsoid und eine Fläche \(\varPhi\), die sich von dem Ellipsoid nur unendlich wenig unterscheidet. Ihre Gleichung in elliptischen Coordinaten ist
\[ \zeta=\theta lMN. \tag{5} \]
Dabei ist \(\theta\) eine unendlich kleine von \(\varepsilon\) abhängende Constante, \(\zeta\) ist der senkrechte Abstand eines Punktes der neuen Fläche von dem vorher betrachteten Ellipsoid, \(M\) resp. \(N\) sind gewisse Lamé’sche Functionen der elliptischen Coordinaten \(\mu\) resp. \(\nu\), und zwar von beliebiger Ordnung; \(l\) endlich hat dieselbe Bedeutung wie oben. Ist die Ordnung \(n\) der Lamé’schen Functionen ungerade, so hat die betreffende Figur, die für \(n=3\) näher discutirt wird, zwei Symmetrieebenen; für eine gerade Ordnungszahl dagegen bestehen drei Symmetrieebenen. Die aus (5) für \(n=2\) sich ergebende Deformation stellt nur eine Drehung des Ellipsoids um einen unendlich kleinen Winkel dar; da eine solche Drehung das Gleichgewicht nicht ändern kann, so muss der betreffende Stabilitätscoefficient notwendig verschwinden, d. h. es muß
\[ \frac{R_1S_1}{3}-\,\frac{R_2S_2}{5}=0 \tag{6} \]
sein. Für eine Bifurcationsform aber muss \(\varrho\) außerdem noch der Gleichung (4) genügen. Beides ist gleichzeitig möglich, falls man \(b\) variiren lässt. Falls man nämlich nur \(c\) als gegeben annimmt, kann man \(\varrho>c\) und \(b<c\), so bestimmen, dass den beiden Gleichungen (4) und (6) genügt wird. Man kann also nicht das eine Axenverhältnis eines Bifurcationsellipsoids beliebig annehmen, sondern für ein solches sind durch (4) und (6) beide Axenverhältnisse bestimmt. Die Ableitung der neuen Gleichgewichtsfigur, die durch (5) bestimmt ist, ändert sich damit nicht.
Vor der Discussion für die dreiaxigen Ellipsoide wird die für die Rotationsellipsoide durchgeführt. Hier ist \(b=0\), und die Gleichung (5) geht damit in folgende über
\[ \zeta=\theta l\cos (j\varphi-\lambda).M. \tag{7} \]
Darin ist \(\varphi\), der Winkel einer Meridianebene mit einer festen Meridianebene, \(M\) ist eine Kugelfunction der elliptischen Coordinate, durch welche die Lage eines Punktes auf dem Meridian bestimmt wird, \(j\) ist eine ganze Zahl \(<\) oder \(=\) der Ordnungszahl der Kugelfunction \(M,\;\lambda\) eine beliebige Constante. Die Gleichung (7) stellt keineswegs in allen Fällen eine Rotationsfläche dar, sondern nur eine Fläche, mit gewissen Symmetrieebenen, resp. -axen. Diese Symmetrien bleiben noch bestehen, wenn zu der angenäherten Flächengleichung (7) die Glieder höherer Ordnung hinzugefügt werden. Bemerkenswert ist noch folgendes Resultat: Wenn man für Rotationsellipsoide \((b=0)\) bei constantem \(c,\;\varrho\) von \(\infty\) an allmählich abnehmen, das Ellipsoid also von der Kugelform aus sich allmählich abplatten lässt (wobei natürlich die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) sich ändert), so ist der erste der Stabilitätscoefficienten, der verschwindet, der zu \(n=2,\;j=2\) gehörige. Die betreffende Form gehört gleichzeitig zu den Jacobischen Ellipsoiden, ist also diejenige Bifurcationsform, bei der die Rotationsellipsoide in dreiaxige übergehen.
Hinsichtlich der Stabilität der verschiedenen Gleichgewichtsfiguren findet Herr Poincaré durch Discussion des Vorzeichens der Stabilitätscoefficienten folgende Resultate. Rotationsellipsoide sind stabile Gleichgewichtsfiguren, wenn sie weniger abgeplattet sind als dasjenige Rotationsellipsoid \(E\), das zugleich ein Jacobisches Ellipsoid ist. Die dreiaxigen Ellipsoide sind stabil, wenn sie wenig länglich sind. In beiden Fällen bleibt die Stabilität bestehen, wenn die Flüssigkeit eine reibende ist. Rotationsellipsoide, deren Abplattung grösser als die des obigen \(E\) ist, aber doch unterhalb einer gewissen Grenze bleibt, sind stabil, falls die Flüssigkeit völlig reibungslos ist, instabil für reibende Flüssigkeiten. Aehnlich verhalten sich wahrscheinlich dreiaxige Ellipsoide von grösserer Länge. Von den hier neu abgeleiteten Gleichgewichtsfigurcn verhalten sich alle aus Rotationsellipsoiden abgeleiteten wie stark abgeplattete Rotationsellipsoide, ebenso die aus den dreiaxigen Ellipsoiden abgeleiteten mit Ausnahme des Falls \(n=3\). Gleichung (5) giebt also für \(n=3\) eine neue stabile Gleichgewichtsfigur. Ob es noch andere stabile Gleichgewichtsfiguren giebt, die nicht einem Ellipsoid sehr nahe kommen, sondern erheblich davon abweichen, bleibt unentschieden.
Hiermit sind die wichtigsten Resultate des Herrn Poincaré skizzirt, der Inhalt der Arbeit aber damit keineswegs erschöpft. Von den sonst behandelten Fragen sind folgende zu nennen: Bestimmung der Elemente einer ringförmigen Gleichgewichtsfigur (ohne Stabilitätsbetrachtungen), Aufhellung einer dunklen Stelle in Laplace’s Mécanique céleste (Livre III. No. 27, 28) durch den Begriff der Bifurcationsform, Bedingungen für die Stabilität des relativen Gleichgewichts, ausführliche Behandlung kleiner Deformationsschwingungen des flüssigen Ellipsoids, endlich neue Beweise für einige bekannte Sätze über Lamé’sche Functionen. Hinsichtlich dieser Fragen sowie hinsichtlich mancher sonstigen Einzelheiten muss auf die Arbeit selbst verwiesen werden.

MSC:

76U05 General theory of rotating fluids
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: Euclid Gallica