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On the analytic representability of so called arbitrary functions of a real variable. (Ueber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen.) (German) JFM 17.0384.02

Die Grundlage für die vorliegenden Untersuchungen bildet der folgende Satz: “Es sei \(f(x)\) eine für jeden reellen Wert der Veränderlichen \(x\) eindeutig definirte, reelle und stetige Function, deren absoluter Betrag eine endliche obere Grenze hat. Ferner bedeute \(\psi (x)\) eine Function von derselben Beschaffenheit, welche überdies ihr Zeichen nicht ändert, der Gleichung \(\psi(-x)=\psi(x) \) genügt und der Bedingung entspricht, dass das Integral \[ \omega=\int_0^\infty \psi(x)dx \] einen endlichen Wert hat. Setzt man dann, unter \(k\) eine willkürliche positive Grösse verstehend, \[ F(x,k)=\frac{1}{2k\omega} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) \psi\left( \frac{u-x}{k} \right) du, \] so ist \[ \underset{k=0} {\text{Lim}}\;F(x,k)=f(x)\text{.''} \] Man kann nun (wie Herr Weierstrass auf den ersten vier Seiten der zweiten Mitteilung ausführlich nachweist) \(\psi(x)\) so wählen, dass \(F(x, k)\) eine transcendente ganze Function von \(x\) wird. Bezeichnet man die Summe der ersten \(n\) Glieder der Entwickelung von \(F(x, k)\) nach aufsteigenden Potenzen von \(x\) mit \(G(x)\) und vergleicht den Wert von \(G(x)\) mit dem von \(f(x)\), so ergiebt sich folgender Satz
“Ist \(f(x)\) eine Function von der angegebenen Beschaffenheit, und wird die Veränderliche \(x\) auf irgend ein endliches Intervall beschränkt, so lässt sich, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse \(g\), auf mannigfaltige Weise eine ganze rationale Function \(G (x)\) bestimmen, welche in dem festgesetzten Intervalle sich der Function \(f(x)\) so genau anschliesst, dass die Differenz \(f(x) - G(x)\) ihrem absoluten Betrage nach beständig kleiner als \(g\) ist.”
Seien nun \(a_1, a_2, \dots;g_1,g_2,\dots\) zwei unendliche Reihen positiver Grössen, so beschaffen, dass \(\lim a_n=\infty\) und \(\sum_{\nu=1}^{\nu=\infty} g_\nu\) endlich ist, so kann man vorstehendem Satze zufolge eine Reihe ganzer Functionen \[ G_1(x), G_2(x),\dots \] bestimmen von der Eigenschaft, dass \[ |f(x)-G_\nu(x)|<g_\nu \] ist, falls \(x\) dem Intervalle \((-a_\nu\dots a_\nu)\) angehört. Hiernach wird \[ \lim_{\nu=\infty} G_\nu(x)=f(x) \] sein, und wenn also \[ f_0(x)=G_1(x),\quad f_\nu(x)=G_{\nu+1}(x)-G_\nu(x)\eqno (\nu=1,2,\dots) \] gesetzt wird, so ist \[ f(x)=f_0(x)+f_1(x)+f_2(x)+\cdots . \] Aus den über die Grössen \(a_\nu\) und \(g_\nu\) gemachten Voraussetzungen folgt aber leicht, dass die unendliche Summe, durch welche \(f(x)\) dargestellt ist, in jedem endlichen Intervalle unbedingt und gleichmässig convergirt. Man hat also folgenden Satz:
“Jede Function \(f(x)\) von der angegebenen Beschaffenheit lässt sich auf mannigfaltige Weise darstellen in der Form einer unendlichen Reihe, deren Glieder ganze rationale Functionen von \(x\) sind; diese Reihe convergirt unbedingt für jeden endlichen Wert von \(x\), und gleichmässig in jedem Intervalle, dessen Grenzen endliche Grössen sind.”
In betreff des ersten, oben angeführten Satzes ist zu bemerken, dass die Abhängigkeit der Function \(G(x)\) von der positiven Grösse \(k\) nicht genügend leicht übersehen werden kann. Um diesem Uebelstande zu begegnen, entwickelt Herr Weierstrass (in der zweiten Mitteilung) die Function \(F(x, k)\) in eine nach den Kugelfunctionen \(P^{(0)}(x), P^{(1)}(x),\dots \) fortschreitende Reihe. Es ergiebt sich \[ F(x,k)=\sum_0^\infty {}_\nu \varphi_\nu (k)P^{(\nu)}(x), \] wenn \[ \varphi_\nu(k)=\frac{1}{2\omega} \int_{-\infty}^{+\infty} f_\nu(ku)\psi(u)du \] und \[ f_\nu(u)=\frac{2\nu+1}{2} \int_{-1}^{+1} f(x'+u) P^{(\nu)} (x')dx' \] gesetzt wird. Nun kann die Function \(G(x)\) gleich \(\sum_0^\infty{}_\nu\varphi_\nu(k) P^{(\nu)}(x)\) gewählt werden, und von den Coefficienten \(\varphi_\nu(k)\) lässt sich zeigen, dass sie stetige Functionen von \(k\) sind, und dass es für jeden einzelnen Coefficienten eine Grenze giebt, welche sein absoluter Betrag für keinen Wert von \(k\) überschreitet. Da in dem in Rede stehenden Satze die Veränderliche \(x\) auf ein endliches Intervall beschränkt wurde, so ist klar, dass der Satz auch noch gilt, wenn von der Function \(f(x)\) nur vorausgesetzt wird, dass sie für jeden endlichen reellen Wert von \(x\) einen bestimmten endlichen und mit \(x\) sich stetig ändernden Wert habe.
Besitzt die Function \(f(x)\) die reelle Periode \(2c\), so wird \(F(x, k)\) dieselbe Periode haben und folglich in eine für alle complexen Werte von \(x\) convergirende Fourier’sche Reihe entwickelbar sein. Diese Entwickelung lautet folgendermassen: \[ F(x,k)=A_0+2\sum_1^\infty {}_\nu \varphi\left( \frac{nk\pi}{c} \right) \left\{ A_n\cos \frac{n\pi}{c}\;x + A_n' \sin\frac{n\pi}{c}\;x \right\}, \] wobei \[ \varphi(v)=\frac{1}{2\omega} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(u) e^{-uvi}du, \]
\[ A_n=\frac{1}{2c} \int_{-c}^{+c} f(x')\cos\frac{n\pi}{c}\;x'dx', \]
\[ A_n'=\frac{1}{2c} \int_{-c}^{+c} f(x')\sin\frac{n\pi}{c}\;x'dx' \] gesetzt ist. Bildet man die Summe der ersten \(n\) Glieder dieser Fourier’schen Reihe und vergleicht damit den Wert von \(f(x)\), so erhält man den Satz:
“Ist \(f(x)\) eine für jeden reellen Wert von \(x\) eindeutig definirte, durchweg stetige und reell-periodische Function, so lässt sich nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse \(g\) auf mannigfaltige Weise eine endliche Fourier’sche Reihe herstellen, welche sich der Function \(f(x)\) so genau anschliesst, dass der Unterschied zwischen beiden Functionen für keinen Wert von \(x\) mehr als \(g\) beträgt.”
Aus diesem Satze folgt nun durch ein ähnliches Verfahren, wie es schon oben angewandt wurde, der folgende Satz:
“Jede Function \(f(x)\) von der soeben angegebenen Beschaffenheit lässt sich, wenn \(2c\) die primitive Periode derselben ist, darstellen in der Form einer Summe, deren Glieder sämtlich endliche Fourier’sche Reihen mit der Periode \(2c\) sind. Diese Reihe convergirt unbedingt für jeden Wert von \(x\) und gleichmässig in jedem endlichen Intervalle.”
Aus der Entwickelung von \(F(x, k)\) ergiebt sich noch folgende Darstellung dieser Function: \[ F(x,k)=\frac{1}{2c} \int_{-c}^{+c} f(x') \chi\left( \frac{x-x'}{c}\;\pi; \frac{k\pi}{c} \right) dx', \] wo \[ \chi(x,v)=1+2\sum_1^\infty {}_n \varphi(nv) \cos nx \] zu setzen ist. Die besondere Annahme \(\psi(x) = e^{-x^2}\) liefert eine schon in Fourier’s Theorie analytique de la chaleur vorkommende Formel. Schliesslich wird noch eine bemerkenswerte allgemeine Darstellung einer willkürlichen periodischen Function \(f(x)\) erhalten, wenn man in dem für \(F(x,k)\) gefundenen Integrale die Grösse \(k\) dadurch zum Verschwinden bringt, dass man \[ k=\frac{c}{\pi} \cdot \frac{2\sqrt{m\log(n+1)}}{n+1} \] setzt und die ganze Zahl \(n\) in’s Unendliche wachsen lässt.

MSC:

41A10 Approximation by polynomials
42A10 Trigonometric approximation
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