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On some polynomials veryfying a linear differential equation of the second order and on the theory of Lamé functions. (Sur certaines polynômes qui vérifient une équation différentielle linéaire du second ordre et sur la théorie des fonctions de Lamé.) (French) JFM 17.0310.01

Heine hat folgenden Satz bewiesen: Sind in der Differentialgleichung \[ (1)\quad A\;\frac{d^2y}{dx^2}+2B\;\frac{dy}{dx}+Cy=0 \] \(A\) und \(B\) zwei gegebene Polynome in \(x\) bezüglich vom \((p+1)^{\text{ten}}\) und \(p^{\text{ten}}\) Grade höchstens, und \(C\) ein noch zu bestimmendes Polynom von höchstens \((p-1)^{\text{tem}}\) Grade, so existiren stets gewisse Bestimmungen von \(C\) derart, dass die Gleichung (1) ein Polynom \(n^{\text{ten}}\) Grades in \(x\) zum Integrale hat. Die Anzahl dieser Bestimmungen ist \[ (n,p)= \frac{(n+1)(n+2)\dots(n+p-1)}{1.2.3.\dots(p-1)}. \] Indem der Verfasser die Voraussetzungen macht:
1) die Wurzeln \(a_0, a_1, \dots, a_p\) der Gleichung \(A=0\) sind reell;
2) die Grössen \(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_p\) in der Zerlegung \[ \;\frac BA= \frac{\alpha_0}{x-\alpha_0}+ \frac{\alpha_1}{x-\alpha_1}+\cdots+ \frac{\alpha_p}{x-\alpha_p} \] sind positiv, präcisirt er obigen Satz in folgender Weise: Die \((n, p)\) Bestimmungen des Polynoms \(C\) sind alle reell, ebenso die entsprechenden Polynome \(y\), die letzteren gleich Null gesetzt, haben reelle und ungleiche Wurzeln, die in den \(p\) Intervallen der Wurzeln von \(A=0\) verteilt sind, und zwar entspricht den \((n, p)\) Möglichkeiten, die für die Verteilung von \(n\) Grössen auf \(p\) Intervalle existiren, je ein und nur ein Polynom \(y\), so dass ein solches Polynom durch die Verteilungsweise seiner Wurzeln vollständig charakterisirt ist. Der Verfasser bemerkt, dass für die Lamé’schen Functionen der Satz bereits von Herrn Klein im Bd. XVIII der Annalen gegeben ist, der dafür gelieferte Beweis jedoch keine Anwendung auf obigen allgemeinen Satz gestatte.

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