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Ueber die Integration simultaner Systeme partieller Differentialgleichungen mit mehreren unbekannten Functionen. (German) JFM 16.0319.01

Die Note enthält eine Verallgemeinerung einerseits der Mayer’schen Theorie der unbeschränkt integrablen Systeme totaler Differentialgleichungen, andererseits der Lie’schen Theorie der Jacobi’schen Systeme. Die Betrachtungen beziehen sich auf ein System von \(rm\) simultanen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit den abhängigen Variabeln \(z_1,\dots, z_m\) und den unabhängigen \(x_1,\dots, x_n\), welches, \(\frac{\partial z_i}{\partial x_k}\) mit \(p_{ik}\) bezeichnet, nach den Grössen \[ p_{11},\dots,p_{1r},\dots,p_{m1},\dots,p_{mr} \] auflösbar sein soll und in der aufgelösten Form \[ (1)\quad p_{ij}-F_{ij}(x_1,\dots,x_n; z_1,\dots,z_m; p_{1,r+1},\dots,p_{1,n};\dots;p_{m,r+1},\dots,p_{m,n})=0 \]
\[ (i=1,\dots,m;\;j=1,\dots,r) \] zu Grunde gelegt wird. Ein solches System heisst unbeschränkt integrabel, wenn es ein bestimmtes Lösungssystem \(z_1,\dots,z_m\) zuässt, das für ein im allgemeinen (d. h. mit Ausschluss einer \((r-1)\)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit) beliebig gewähltes System von Anfangswerten \(x+1=x_1^0,\dots,x_r=x_r^0\) in das bestimmte Functionensystem \(z_1^{(r)},\dots,z_m^{(r)}\) übergeht. Es werden nun nach einer einfachen Methode die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die unbeschränkte Integrabilität des vorgelegten Systems abgeleitet, die in zwei Gleichungssysteme von verschiedener Form zerfallen, und die Anwendung des bekannten P. du Bois-Reymond’schen Transformationsprincips, welches in den Mayer’schen und den Lie’schen Untersuchungen sich als so wichtig erwiesen hat, führt dann auch hier die Integration auf die eines “ersten Untersystems” zurück.
Setzt man \(r=n\), so erhält man die Mayer’schen Systeme unbeschränkt integrabler totaler Differentialgleichungen und für \(m=1\) die Jacobi’schen Systeme simultaner partieller Differentialgleichungen erster Ordnung mit einer unbekannten Function; in beiden Fällen fallen von den Bedingungen der unbeschränkten Integrabilität diejenigen zweiter Form, als identisch befriedigt, fort. Da die vom Verfasser angewandte Methode wesentlich verschieden ist von derjenigen, die Mayer und Lie gegeben haben, enthalten die gegebenen Entwickelungen gleichzeitig neue und einfache Beweise der Mayer-Lie’schen Sätze.

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