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The spherical harmonics and Lame’s functions as determinants. (Die Kugelfunctionen und Lamé’schen Functionen als Determinanten.) (German) JFM 15.0444.01

Diss. Göttingen (1881).
Ein Teil der vorliegenden Arbeit reproducirt bekannte Resultate in Bezug auf die allgemeinen Lamé’schen Functionen; eigentümlich ist indessen der Ausgangspunkt. Der Verfasser geht nämlich von der Betrachtung einer ganzen Function \(\nu^{\text{ten}}\) Grades \(N^{\nu}(x)\) aus, welche die Form einer sogenannten “einreihigen” Determinante hat, d. h. einer solchen, bei der alle Elemente einer zur Nebendiagonale parallelen Sehne einander gleich sind. Die Randelelemente dieser Determinante sind von der Form \[ a_1x-a_2, a_2x-a_3,\dots, a_\nu x-a_{\nu+1},\dots, a_{2\nu-1}x-a_{a\nu}. \] Zwischen drei auf einander folgenden Functionen \(N^{\nu+1}, N^{\nu}, N^{\nu-1}\) besteht dann eine lineare Relation, aus der man schliessen kann, dass \(N^{\nu}(x)\) der \(\nu^{\text{te}}\) Näherungsnenner eines gewissen Kettenbruchs ist. Weiter wird nun festgesetzt, dass die Constanten \(a_1, a_2,\dots\) nicht beliebig sind, sondern dass je \(p+1\) derselben durch eine lineare Relation von der Form \[ a_r=\lambda^{(1)}_r a_{r-1}+\lambda^{(2)}_r a_{r-2} + \cdots + \lambda^{(p)}_r a_{r-p} \] verbunden sind. Einer solchen Relation kann man genügen, wenn man für die Constanten \(a_r\) gewisse ganze Abel’sche Integrale erster und zweiter Gattung, resp. Summen von solchen setzt. Dann lässt sich der Kettenbruch, dessen \(\nu^{\text{ter}}\) Näherungsnenner \(N^{\nu}\) ist, leicht in eine unendliche Reihe umwandeln, die sich ihrerseits summiren lässt, und so folgt, dass unter den obigen Voraussetzungen \(N^{\nu}\) der \(\nu^{\text{te}}\) Näherungsnenner in der Kettenbruchentwickelung von \[ S= \sum^{s=p}_{s=1}\;C_s\;\int^{\varrho_s}_{\varrho_{s-1}}\;\frac{dx}{(x-z)\sqrt{\psi(z)}} \] ist, wo \[ psi(z)=x(x-\varrho_1)(x-\varrho_2)\dots{}(x-\varrho_p),\quad \varrho_0=0 \] ist. Drückt man die in \(S\) vorkommenden ganzen Abel’schen Integrale dritter Gattung durch Summen von Integralen erster und zweiter Gattung aus, so kann man auf einem von Heine mehrfach benutzten Wege \(N^{\nu}\) mit einer Differentialgleichung zweiter Ordnung in Verbindung bringen. Setzt man nämlich \(2\nu=n\) und bestimmt die Factoren \(C_1, C_2,\dots C_p\) in dem obigen Ausdrucke von \(S\) derart, dass der \(\nu^{\text{te}}\) Näherungswert der Kettenbruchentwickelung von \(S\) vom Grade \(-(\nu+p)\) ist, so genügt \(N^{nu}(x)\) der Differentialgleichung für die Lamé’sche Function erster Art von der Ordnung \(p\); und die Lamé’schen Functionen sind damit umgekehrt als Determinanten dargestellt. In dieser Darstellung besteht das hauptsächlichste Resultat der Arbeit. Die Untersuchung darüber, ob die geforderte Bestimmung der \(C\) stets möglich ist, wird nur angedeutet, nicht völlig durchgeführt. Nachdem noch der bekannte Zusammenhang des zu dem \(\nu^{\text{ten}}\) Näherungsbruche von \(S\) gehörigen Restes mit dem zweiten Integral der Lamé’schen Differentialgleichung erörtert ist, wird das gefundene allgemeine Resultat auf specielle Fälle angewandt. Wird in der Function \(\psi(z)\) \[ \varrho_1=\varrho_2=\cdots=\varrho_p=1 \] gesetzt, so geht \(N^{\nu}(x)\) in die zugeordnete Kugelfunction höherer Ordnung über; dabei ist der Grad der Kugelfunction eine gerade Zahl. Der Uebergang zu ungeraden Grade ergiebt sich leicht. Noch weitere Specialisirung ergiebt eine Determinantendarstellung von \(\cos2\nu \varphi\) und \(\cos\;\frac{(2\nu+1)\varphi}{\cos\varphi}\). Die Arbeit schliesst mit einer Umformung der Determinante für \(N^{\nu}(x)\) und Anwendung auf die einfachen Kugelfunctionen. Bemerkt mag noch werden, dass wenn in der Function \(N^{\nu}(x)\) die Constanten \(a_1, a_2,\dots\) völlig beliebig bleiben, die Wurzeln der Gleichung \(N^{\nu}(x)=0\), die alle reell und verschieden sind, eine Anwendung auf die Canonisirung binärer Formen ungeraden Grades, sowie, damit zusammenhängend, auf die mechanische Quadratur gestatten.

MSC:

33C55 Spherical harmonics