×

On a linear equation of second order with doubly periodic coefficients. (Sur une équation linéaire du second ordre à coefficients doublement périodiques.) (French) JFM 15.0281.02

Die behandelte Differentialgleichung ist: \[ (1)\quad \frac{d^2y}{dz^2} = \left\{ n(n+1)k^2\lambda^2(z) + h+ \frac{m(m+1)}{\lambda^2(z)} \right\} y. \] Die doppelt periodischen Functionen \(y\) zweiter Art, die dieser Gleichung Genüge leisten, haben zur logarithmischen Ableitung doppelt periodische Functionen erster Art mit den Perioden \(\omega\) und \(\omega'\) von \(\lambda^2(z)\). Durch Einführung von \(u = - d \text{ log }y: dz\) erhält man \[ \frac{du}{dz}-u^2=-n(n+1)k^2\lambda^2(z)-h -\frac{m(m+1)}{\lambda^2(z)} \cdot \] Der Ausdruck für \(u\) wird nun direct aus dieser Gleichung durch Betrachtung der Pole und zugehörigen Residuen mit Hülfe des Liouville’schen Satzes mittelst der Function \(\lambda(z)\) und ihrer Derivirten gegeben. Im ersten Teil wird das allgemeine Integral von (1) für den Fall, dass beide Lösungen doppelt periodische Functionen zweiter Art sind, in der Form \[ y=c\sqrt{F} e^{\frac N2 \int\frac{dz}{F}} \] aufgestellt, wo \(F\) eine rationale Function von \(\lambda^2(z)\) darstellt und \(N^2\) einen constanten von \(h\) abhängenden Wert hat; die Substitutionen \(\pm\sqrt{N^2}\) für \(N\) in obigem Ausdruck liefern zwei verschiedene particuläre Integrale und somit das allgemeine Integral. Dasselbe wird auch mittelst der Thetafunctionen dargestellt. Der zweite Teil beschäftigt sich mit dem Falle, in welchem die Gleichung (1) doppeltperiodische Lösungen erster Art besitzt. Er tritt für jeden der \(2n+1\) Werte \(k\) ein, für welche \(N\) Null wird. Es ergeben sich hier 8 verschiedene Formen der Lösungen. Im letzten Teile werden die Fälle untersucht, wo der Modul \(k\) gleich 1 oder 0 ist, und demnach \(\lambda(z)\) auf \(\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}\) oder auf sin \(z\) sich reducirt.
Zum Schluss stellen wir die citirte Literatur zusammen. Hermite, Borchardt J. 89; Brioschi Ann. (2) 9 und C. R. 1877 ff.; Fuchs, Resal J. 1878 und Borchardt J. 81.

MSC:

34A30 Linear ordinary differential equations and systems
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] Journal de Crelle, Tome 89. · JFM 52.0038.14
[2] Annali di matematica, Serie II Tome IX et Comptes Rendus, Années 1877 et suivantes.
[3] Fuchs, Journal deM. Résal 1878.
[4] Journal de Crelle, Tome 81. · JFM 52.0038.14
[5] Leçons sur les fonctions inverses des transcendantes, pages 281 et suivantes.
[6] Lamé. Leçons sur les fonctions inverses ..., page 249.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.