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On the differential equation of functions of the elliptic cylinder. (Ueber die Differentialgleichung der Functionen des elliptischen Cylinders.) (German) JFM 15.0270.01

Die in Rede stehende Differentialgleichung, die in algebraischer Form \[ (1)\quad 4z(1-z)\frac{d^2y}{dz^2} + 2(1-2z) \frac{dy}{dz} + (\lambda^2z- {\mathfrak B} )y=0 \] lautet, wird hier zum ersten Male für beliebige Werte der Constante \(\mathfrak B\) behandelt, und zwar nach derselben Methode, die Hermite zur Integration der allgemeinen Lamé’schen Differentialgleichung benutzt hat. Durch Untersuchung des Verhaltens der particulären Integrale von (1) in der Umgebung der singulären Punkte \(z=0\) und \(z=1\) ergiebt sich der Satz: Unter den particulären Integralen der Gleichung (1) kann man im Allgemeinen zwei derart auswählen, dass ihr Product gleich einer ganzen transcendenten Function \(F(z)\) ist. Das Product zweier particulären Integrale von (1) genügt aber der Gleichung dritter Ordnung \[ (2)\quad 2z(1-z)\eta''' +3(1-2z)\eta'' + (4\lambda^2z-4{\mathfrak B}-2)\eta' + \lambda^2\eta=0. \] Zwei particuläre Integrale von (2) lassen sich in der Umgebung von \(z = 0\) nach Potenzen von \(z\) entwickeln. Dieselben seien \[ \eta_{00} = c_0+c_2z^2+c_3z^3+\cdots, \]
\[ \eta_{01} = c_1'+c_2'z^2+c_3'z^3+\cdots. \] Dann giebt \[ \eta_{00}+k\eta_{01} \] bei passender Wahl der Constante \(k\) eine für alle endlichen Werte von \(z\) convergirende Reihe, d. h. die gesuchte Function \(F(z)\). Ist auf diese Weise \(F\) bestimmt, so folgt, dass der Gleichung (1) die beiden particulären Integrale \[ (3)\quad \begin{cases} y_1=G\sqrt{F(z)} e^{\quad C\int \frac{dx}{F(z)\sqrt{z(1-z)}}} , \\ y_2=G'\sqrt{F(z)} e^{-C\int \frac{dx}{F(z)\sqrt{z(1-z)}}} \end{cases} \] genügen, wobei \(G\) und \(G'\) willkürliche Constanten sind, während \(C\) durch die Gleichung bestimmt ist \[ C^2=c_0c_1'k-{\mathfrak B}c_0^2. \] Eine Ausnahme bildet der Fall \(C = 0\), auf den die physikalischen Anwendungen der Gleichung (1) führen. Die für diesen Fall sich ergebenden Functionen des elliptischen Cylinders, die am vollständigsten von Heine behandelt sind, stehen den oben besprochenen Integralen der allgemeinen Gleichung (1) in derselben Weise gegenüber, wie die speciellen Lamé’schen Functionen den von Hermite u. A. untersuchten Integralen der allgemeinen Lamé’schen Differentialgleichung.

MSC:

34A30 Linear ordinary differential equations and systems
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Full Text: DOI EuDML