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Sur la représentation sphérique des surfaces. (French) JFM 14.0662.01

C. R. XCIV, 120-122 (1882); C. R. XCIV, 158-160, 1290-1293, 1343-1345 (1882).
Die vorliegenden Noten behandeln die von Bonnet u. A. untersuchte Abbildung einer Fläche auf eine Kugel, bei welcher die Tangentialebenen, also auch die Normalen in entsprechenden Punkten parallel sind. Auch Herr Darboux selbst hat sich bereits früher mit diesem Gegenstande beschäftigt und in den Jahren 1868 und 1869 Noten darüber in den C. R. LXVII. und LXVIII, (siehe F. d. M. II. I870. 550, JFM 02.0550.01) veröffentlicht. Die damals mitgeteilten Resultate werden jetzt vervollständigt und erweitert.
Der Grundgedanke der Entwickelung ist folgender: Wir betrachten eine Ebene mit der Gleichung \[ W = ux + vy + wz + p = 0, \] in welcher \(u, v, w, p\) Functionen zweier Parameter \(\varrho\) und \(\varrho_1\), sind; die Enveloppe dieser Ebene ist eine gewisse Fläche, und zwar wird durch jedes Paar von Parameterwerten \(\varrho\) und \(\varrho_1\), ein Punkt dieser Fläche bestimmt, und die Bedingung dafür, dass die Parameterlinien \(\varrho\) = const. und \(\varrho_1\) = const. conjugirt sind, ist, dass gleichzeitig \( W , \frac {\partial W}{\partial \varrho}, \frac {\partial W}{\partial \varrho_1} \) und \( \frac {\partial^2 W}{\partial \varrho \partial \varrho_1} \) verschwinden, woraus ohne Weiteres folgt, dass die vier Functionen \(u, v, w, p\) einer Differentialgleichung von der Form \[ (1) \quad \frac {\partial^2 \vartheta}{\partial \varrho \partial \varrho_1} + A \frac {\partial \vartheta}{\partial \varrho} + B \frac {\partial \vartheta}{\partial \varrho_1} + C = 0 \] genügen. Kennt man umgekehrt fünf Lösungen dieser Gleichung, \(u, v, w, p, p'\) so sind die Flächen \(S\) und \(S'\), welche eingehüllt werden von den Ebenen \[ ux + vy + wz + p = 0 \] und \[ ux + vy + wz +p' = 0 , \] durch die Parameter \(\varrho\) und \(\varrho_1\) aufeinander abgebildet, und die Parameterlinien sind in beiden Flächen conjugirt; auch sind entsprechende Richtungen auf beiden Flächen parallel. lst nun weiter eine dieser beiden Flächen eine Kugel, so werden die Parameterlinien auf dieser orthogonal, also auch auf der nicht sphärischen Fläche; folglich sind auf der letzteren die Parameterlinien die Krümmungslinien. Man wird also zu dem Resultat gef’ührt: Ist eine Differentialgleichung von der Form (1) gegeben, und sind \(u, v, w, p\) vier Integrale derselben von der Art, dass \[ (2) \quad u^2 + v^2 + w^2 = p^2 \] ist, so definiren die Gleichungen \[ x=\frac up , \quad y = \frac vp , \quad z = \frac wp \] für constantes \(\varrho\) oder \(\varrho_1\), zwei Schaaren von orthogonalen Linien auf der Kugel; und die allgemeinste Fläche, deren Krümmungslinien jenes Orthogonalsystem zum sphärischen Bilde haben, ist die Enveloppe der Ebene \[ ux + vy + wz +P = 0, \] wo \(P\) das allgemeine Integral von (1) ist. Hiermit ist der Gang für die allgemeinste Behandlung des Problems aufgefunden. Man geht z. B. von der Gleichung aus: \[ (3) \quad 2 (\varrho - \varrho_1) \frac {\partial^2 \vartheta}{\partial \varrho \partial \varrho_1} + \frac {\partial \vartheta}{\partial \varrho } - \frac {\partial \vartheta}{\partial \varrho_1} = 0. \] Dieselbe wird befriedigt durch einen Ausdruck von der Form \[ \sum _1^4 A_i \sqrt {(\varrho + a_i)(\varrho_1 + a_i)} . \] Nun lassen sich vier derartige Ausdrücke bilden, indem statt der Constanten \(A_i\) die Constanten \(B_i, C_i, D_i\) gesetzt werden. Diese vier Ausdrücke mögen der Reihe nach gleich \(u, v, w, p\) gesetzt werden; dann können die Constanten \(A_i, B_i, C_i, D_i\) so bestimmt werden, dass die Gleichung (2) erfüllt wird. Man kommt so auf die allgemeine Lösung der Aufgabe, alle Flächen zu finden, deren Krümmungslinien zur sphärischen Abbildung ein System confocaler sphärischer Kegelschnitte haben. Dies hatte der Verfasser früher auf andere Weise entwickelt. Auch Bonnet hatte bereits mit Hülfe eines bekannten Satzes von Joachimsthal bewiesen, dass sich jede ebene Krümmungslinie sphärisch als ein Kreis abbilden muss, woraus sich weiter ergiebt, dass die Aufsuchung der Flächen mit zwei Systemen ebener Krümmungslinien auf die Untersuchung derjenigen Flächen hinauskommt, deren Krümmungslinien sich sphärisch in zwei orthogonale Kreisschaaren abbilden.
Das ist der Inhalt der ersten Note. Die zweite bespricht, wie man aus gegebenen Lösungen des Problems ohne neue Integration durch eine beliebige Inversion andere Lösungen herleiten kann. Hervorzuheben ist eine Verallgemeinerung des Problems der sphärischen Abbildung, welches darin besteht, dass man eine Fläche \(\varSigma\) auf eine Kugel \(S\) so abbildet, dass beide Flächen in entsprechenden Punkten von einer veränderlichen Kugel berührt werden. Aus dieser Abbildung kann leicht die frühere als specieller Fall hergeleitet werden; da sie aber selbst die bemerkenswerte Eigenschaft hat, dass den Krümmungslinien auf \(\varSigma\) orthogonale Liniensysteme auf \(S\) entsprechen, und da sich diese Eigenschaft bei der Transformation durch reciproke Radien erhält, so ist sie in vieler Beziehung interessant. Auch lässt sich hierbei die Bildfläche \(S\), welche im Allgemeinen eine Kugel ist, durch eine Ebene ersetzen, und diese Art der Abbildung einer Fläche auf eine Ebene führt ebenfalls zu bemerkenswerten Beziehungen, von denen einige besprochen werden. Die beiden letzten Noten enthalten noch eine Reihe von Bemerkungen über die Integration der Gleichung (3). Wie der Herr Verfasser bereits früher bewiesen hat, lässt sich die oben aufgestellte Bedingung (2) immer dann erfüllen, wenn man vier particuläre Integrale der Gleichung (3) kennt, welche durch eine homogene Gleichung zweiten Grades verbunden sind. Dies kann nun auf einen speciellen Fall der Gleichung (3) angewendet werden. Ist nämlich \(A\) = 0 und \(B\) = O, dagegen \[ C = i [ f(\varrho + i\varrho_1) - \varphi (\varrho - i \varrho_1)], \] so wird die Gleichung (3): \[ \frac {\partial^2 z}{\partial \varrho \partial \varrho_1} = i [ f(\varrho + i\varrho_1) - \varphi (\varrho - i \varrho_1)]z . \] Bildet man nun die Differentialgleichugen \[ (4)\quad P'' = P [f(x) + m]; \]
\[ (5) \quad Q'' = [\varphi (x_1) +m], \] wo \(m\) eine Constante bedeutet, und nennt \(P_1\), und \(P_2\) zwei particuläre Integrale der ersten Gleichung, in welchen für \(x\) gesetzt ist \((\alpha + (\beta i)\), nennt man analog \(Q_1\), und \(Q_2\) zwei Integrale der zweiten, wo für \(x_1\), gesetzt ist \((\alpha + \beta i)\), nennt man analog \( Q_1\) und \(Q_2\) zwei Integrale der zweiten, wo für \(x_1\) gesetz ist \( (\alpha - \beta i)\), so erhält man die vier Lösungen der Gleichung (3) \[ u = P_1Q_2 + P_2Q_1, \quad w = P_1Q_1 - P_2Q_2, \]
\[ v= i (P_2Q_1 - P_1Q_2), \quad p=P_1Q_1 + P_2Q_2, \] welche die Relation (2) erfüllen. Wenn die Functionen \(f\) und \(\varphi\) conjugirt sind, und \(Q_1\), und \(Q_2\) bezüglich zu \(P_1\), und \(P_2\) conjugirt sind, dann wird das so definirte sphärische System reell, und zwar isothermisch. Dies System ist durch die Function \(f\) und die Constante \(m\) definirt. Ersetzt man \(P_1\) und \(P_2\) durch zwei andere particulare Integrale der Gleichung (4), so erhält man Systeme, welche aus dem ersten durch Inversion hervorgehen. Alle diese Systeme, welche als äquivalent gehen können, nennt der Verfasser “correspondirend” der Gleichung \[ y'' = y[f(x) + m ]. \] Auf die Form (3) lässt sich auch eine aus der Geometrie und der mathematischen Physik bekannte Gleichung \[ \frac {\partial^2 z}{\partial \varrho \partial \varrho_1} = - \frac {m (m+1)}{(\varrho - \varrho_1 )^2}\;z \] zurückführen. Es wird angedeutet, dass man auf diese Weise alle Flächen finden kann, welche zur sphärischen Darstellung der Krümmungslinien die Isothermensysteme haben, welche den drei Gleichungen genügen : \[ \begin{aligned} & y' = y \left[ \frac { m(m+1)}{x^2} - h^2 \right] ,\\ & y'' = y \left[ \frac { m(m+1)}{\sin{}^2 x} - h^2 \right] ,\\ & y''' = y [ m(m+1) k^2 \sin{}^2 x + h ] . \end{aligned} \] Hierin sind alle bekanuten Fälle enthalten. Man findet so un-endlich viele Algebraische Flächen mit algebraischen Kr\"mmungs-linien. Endlich wird noch (in der letzten Note) gezeigt, wie man aus der Gleichung \[ \frac {\partial^2 z}{\partial \alpha \partial \beta} = i [f(\alpha + i \beta ) - \varphi (\alpha - i \beta )] z \] eine unbegrenzte Zahl von Gleichungen derselben Form herleiten kann, welche alle integrabel sind, wenn die Ausgangsgleichung es ist.

Citations:

JFM 02.0550.01
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