Lindemann, F. Expanding functions of a complex variable in terms of Lamé functions and in terms of the associated spherical functions. (Entwickelung der Functionen einer complexen Variabeln nach Lamé’schen Functionen und nach Zugeordneten der Kugelfunctionen.) (German) JFM 13.0410.01 Klein Ann. XIX, 323-386 (1881). In seiner Schrift “Ueber die Entwickelung einer Function mit imaginärem Argument nach den Kugelfunctionen erster und zweiter Art” (Halle, 1862) hat Herr C. Neumann zuerst gezeigt, dass die Entwickelungen complexer Functionen nach Kugelfunctionen erster und zweiter Art in Gebieten convergiren, welche durch Ellipsen mit den Brennpunkten \(+ 1\) und \(- 1\) begrenzt werden. Analoge Resultate werden in der vorliegenden Arbeit für die Entwickelung nach Lamé’schen Functionen abgeleitet. Seiner eigentlichen Aufgabe schickt der Verfasser eingehende Untersuchungen über die Eigenschaften der Lamé’schen Functionen voraus, insbesondere über die Function zweiter Art, die im Unendlichen verschwindet. Er wendet dabei durchweg die Heine’sche Bezeichnung an und beschränkt sich ausserdem, was die Functionen erster Art betrifft, auf die Klasse \(K\), die rationalen und ganzen Functionen, und ebenso auf die dieser Klasse entsprechenden Functionen zweiter Art. Um die Function zweiter Art \(F^n_s(z)\) für alle complexen Werte von \(z\) darzustellen, wird dieselbe nach Potenzen der Grösse \[ (1) \quad\zeta= \frac{\root\of{z^2-b^2} -\root\of{z^2-c^2}}{\root\of{c^2-b^2}} \] entwickelt. Eine genauere Untersuchung der durch (1) vermittelten Abbildung ergiebt, dass einem in der \(\zeta\)-Ebene mit dem Radius \(\varrho\) um den Anfangspunkt als Mittelpunkt beschriebenen Kreise in der \(z\)-Ebene die ganz im Endlichen liegende Curve \[ \text{(2)} \quad\left( \frac{x^2-y^2- \frac 12(c^2+b^2)}{\varrho^2+\varrho^{-2}} \right)^2 +\left( \frac{2xy}{\varrho^2-\varrho^{-2}} \right)^2= \left( \frac{c^2-b^2}{4} \right)^2 \] entspricht. Das für den variabeln Parameter \(\varrho\) aus den Curven 2) gebildete System ist gestaltlich dem System confocaler Cassini’scher Curven sehr ähnlich. Speciell entsteht für \[ \varrho^2= \frac{(c\pm b)^2}{c^2-b^2} \] eine der Lemniscate ähnliche Curve, die im Anfangspunkte einen Doppelpunkt hat, und deren Gleichung ist: \[ \text{(3)} \quad (x^2-y^2)^2-(c^2+b^2)(x^2-y^2)+ \frac 14 x^2y^2 \left( \frac{c^4+b^4+6b^2c^2}{bc(b^2+c^2)} \right)^2= 0. \] Fügt man zu der Gleichung (1) noch die Bedingung \(\varrho<1\) und \[ \lim_{z=\infty} (z.\zeta)= +\frac 12 \root\of{c^2-b^2} \] hinzu, so ist \(\zeta\) als holomorphe Function von \(z\) bestimmt, ausserhalb der Linie \(COC'\), d. i. desjenigen Teils der reellen Axe, welcher die Punkte \(z= +c\) und \(z= -c\) durch den Nullpunkt hindurch verbindet. Zu beiden Seiten der Linie \(COC'\) hat \(\zeta\) zwei verschiedene Werte. Aehnlich wie \(\zeta\) verhält sich nun \(F^n_s(z)\), als deren wichtigste Eigenschaften sich die folgenden ergeben, wobei auch schon die früher bekannten Eigenschaften der Vollständigkeit halber hinzugefügt sind:1) \(F^n_s(z)\) genügt in der ganzen Ebene \(z\) bis an die Linie \(COC'\) der Differentialgleichüng der Lamé’schen Functionen: \[ (z^2-b^2)(z^2-c^2) \frac{d^2F}{dz^2}+z(2z^2-b^2-c^2) \frac{dF}{dz} +[(b^2+c^2) v_s-n(n+1)z^2]F= 0. \] Sie genügt dieser Differentialgleichung auch in der genannten Linie als Function der reellen Veränderlichen \(x\).2) Sie ist in der ganzen Ebene eine stetige Function von \(z= x+iy\), ausgenommen die Linie \(COC'\), wo eine mittels gewisser elliptischer Integrale darstellbare Discontinuität eintritt.3) Ihre Werte in der genannten Linie sind definirt als arithmetische Mittel ihrer Werte zu beiden Seiten der Linie.4) Sie ist für alle Werte von \(z\) ausserhalb \(COC'\) dargestellt durch das Integral \[ F^n_s= (2n+1)E^n_s(z). \int^{\infty}_z \frac{dz}{(E^n_s(z))^2 \root\of{(z^2-b^2)(z^2-c^2)}}, \] wobei \(E^n_s(z)\) die Lamé’sche Function erster Art ist.5) Sie wird für \(z= \infty\) Null von der Ordnung \(n+ 1\).6) Für alle Werte von \(z\) ausserhalb der obigen Curve 3) kann sie in eine nach steigenden Potenzen von \(\zeta\) geordnete Reihe entwickelt werden, welche mit \(\zeta^{n+1}\) beginnt.7) Im Innern der beiden Schleifen, aus welchen die Curve 3) besteht, gilt je eine Entwickelung nach auf- und absteigenden Potenzen von \(\zeta\).An die Ermittelung dieser Eigenschaften schliesst sich die Untersuchung der Werte, welche \(F^n_s(z)\), sowie die entsprechende Function erster Art \(K^n_s(z)\) für sehr grosse Werte des Index \(n\) annehmen. Hier ergiebt sich: \[ \text{(4)}\quad \begin{cases} K^n_s(z)= \frac{\zeta^{-n} \root\of{(c^2-b^2)^n.a_0}}{2^n\root{4}\of{\zeta^4+2\kappa\zeta^2 +1}}, \\ F^n_s(z)= \frac{2^{n+1}\zeta^{n+1}}{a_0 \root\of{(c^2-b^2)^{n+1}}\root{4}\of{\zeta^4+2\kappa\zeta^2+1}}, \end{cases} \] wobei \(a_0\) der Coefficient der höchsten Potenz der ganzen Function \(K^n_s(z)\) und \[ \kappa= \frac{c^2+b^2}{c^2-b^2} \] ist. Die genannten Ausdrücke gelten zunächst ausserhalb der Curve 3), lassen sich dann auch auf das Innere derselben übertragen mit Ausnahme der Linie \(COC'\), die wieder besondere Betrachtungen erfordert.Es folgt nun die Entwickelung des Ausdrucks \((z_1 -z)^{-1}\) nach Lamé’schen Functionen. Bekannt ist zunächst (cf. Heine, Handbuch der Kugelfunctionen, zweite Auflage, Teil II. p. 172) die Entwickelung der reciproken Entfernung zweier Punkte (in elliptischen Coordinaten ausgedrückt) in eine Reihe von Lamé’schen Functionen. Daraus ergiebt, sich durch Specialisirung der Lage der Punkte: “Sind \(z\) und \(z_1\) zwei reelle Grössen und \(z_1 > z> c\), so besteht die Relation: \[ \text{(5)} \quad\frac{1}{z_1-z}= \sum^{n=\infty}_{n=0} \sum^{s=\sigma +1}_{s=1} C^n_s.K^n_s(z)F^n_s(z_1), \] wo \[ C^n_s= [K^n_s(b).K^n_s(c)]^2\cdot \frac{\pi}{2(2n+1)} \] ist, während \(\sigma=\frac 12 n\) oder \(\frac 12 (n-1)\). In dieser Entwickelung kommen nur Functionen der Klasse \(K\) vor, die der übrigen drei Klassen sind durch die oben erwähnte Specialisirung fortgefallen.Die Reihe (5) wird nun auf imaginäre Werte von \(z\) und \(z_1\) übetragen, ihre Convergenz mittels der Ausdrücke (4) und der bekannten Entwickelung einer Kugelfunction nach Lamé’schen Functionen untersucht. Dadurch ergiebt sich: Die Entwickelung (5) ist immer anwendbar, wenn die durch den Punkt \(z\) gehende Curve des Systems (2) von der durch \(z_1\) gelegten Curve desselben Systems (oder, falls beide aus je zwei Ovalen bestehen, ein Teil der ersteren von einem Teile der letzteren) ganz umschlossen wird.” Der Punkt \(z\) kann auch auf \(BC\) oder \(B'C'\) liegen (für die Punkte \(B\) und \(B'\) ist \(z= +b\), resp. \(z= -b,\;b <c\)); alsdann gilt (5) für jeden Punkt \(z_1\) ausserhalb dieser beiden Strecken.Aus der fundamentalen Formel (5) ergiebt sich die Entwickelung einer Function \(f(z)\) nach \(K^n_s(z)\) und \(F^s_n(z)\) in bekannter Weise durch Vermittelung des Cauchy’schen Satzes, dass \[ f(z)= \frac{1}{2i\pi}= \int \frac{f(z_1)}{z_1-z} dz, \] wenn das Integral rechts in positivem Sinne über die ganze Begrenzung eines ebenen Flächenstücks geführt wird, innerhalb dessen \(f(z)\) als holomorphe Function von \(z\) gegeben ist. Die Behandlung der Entwickelung wird hier complicirter, als die der entsprechenden Entwickelung nach Kugelfunctionen, da in Bezug auf das Convergenzgebiet viel mehr einzelne Fälle zu unterscheiden sind. Ist \(f(z)\) für das Innere einer solchen Curve (2) gegeben, die aus einem einzigen Zuge besteht, so convergirt die nach \(K^n_s\) fortschreitende Reihe, sobald \(z_1\) auf dem Rande liegt. Ist \(f(z)\) für alle Punkte ausserhalb einer solchen Cürve gegeben, so ergiebt sich eine nach \(F^n_s (z)\) fortschreitende Reihe, die noch convergirt, sobald \(z\) auf dem Rande, \(z_1\) im Innern liegt. Besteht die Curve (2) aus zwei getrennten Ovalen, so gilt die Darstellung durch die \(K\)-Reihe für das Innere des einen Ovals, während die Reihe auch noch in dem anderen Oval convergirt, aber dort den Wert Null darstellt. Für Flächenstücke, die von zwei verschiedenen Curven des Systems (2) begrenzt sind, ergeben sich je nach der Art dieser Curven verschiedenartige Entwickelungen. Besonders beachtenswert sind hier die Fälle, in denen das Convergenzgebiet dreifach zusammenhängend ist.Im Anschluss an diese allgemeinen Resultate werden noch diejenigen nach Lamé’schen Functionen fortschreitenden Entwickelungen genauer untersucht, deren Summe gleich Null ist. Derartige Entwickelungen giebt es unendlich viele, nämlich 1) nach den \(K^n\) fortschreitende Reihen, die in der ganzen Ebene gültig sind; 2) solche unendliche \(K\)-Reihen, die nur im Innern je einer Schleife der Curve (3), andere, die nur in einem Ovale einer zweiteiligen Curve (2) gelten; 3) Entwickelungen nach den Functionen \(F\), die ausserhalb der Curve (3) gelten; 4) Entwickelungen nach Functionen \(K^n\) und \(F^n\), die in einem von zwei Ovalen der Curven (2) begrenzten Ringe convergiren; 5) Entwickelungen, die nur längs einer Linie gelten. Die Entwickelung selbst mitzuteilen, würde hier zu weit führen.Zum Schluss werden die Grenzfälle der obigen Entwickelungen untersucht. Für den Fall \(b= c\) geht die Reihe (5) in die Heine’sche Entwickelung von \((z_1-z)^{-1}\) nach Kugelfunctionen über. Für den Fall \(b= 0,\;c= 1\) dagegen gehen die Lamé’schen Functionen in die zugeordneten Kegelfunctionen über. Die Gleichung (5) ergiebt dann \[ \text{(6)} \quad\frac{1}{z_1-z}\;= \]\[ 2\sum^{\infty}_{n=0} \sum_m' (-1)^{n+m} \frac{1.3 \ldots (n+m-1).1.3 \ldots (n-m-1)}{2.4 \ldots (n+m).2.4 \ldots (n-m)} P^n_m (\root\of{1-z^2}) Q^n_m(\root\of{1-z_1^2}), \] Hierin ist die innere Summe über alle Zahlen \(m\) auszudehnen, für welche \(n-m\) eine positive grade Zahl oder Null ist; für \(m= 0\) ist nur die Hälfte des betreffenden Gliedes zu nehmen. Die Reihe (6) ist gültig, wenn \(z\) im Innern einer Ellipse liegt, die durch \(z_1\) geht und deren Brennpunkte sich in den Punkten +1 und -1 befinden. An diese Gleichung lassen sich dieselben Erörterung anknüpfen, wie an die allgemeine Gleichung (5); nur treten hier statt der Curven (2) und (3) confocale Ellipsen auf, und nicht mehr Curven, die aus getrennten Ovalen bestehen. Inbesondere wird der Specialfall \(b= 0\) auf die Nullentwickelungen angewandt, und hier ergiebt sich unter anderem die neue Formel \[ \int^{+1}_{-1}P^n_{\nu}(x)Q^n_{\mu}(x)\frac{xdx}{\root\of{1-x^2}}= \pi . \] Reviewer: Wangerin, Prof. (Halle a.S.) Cited in 3 Documents MSC: 33E10 Lamé, Mathieu, and spheroidal wave functions 30B99 Series expansions of functions of one complex variable JFM Section:Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 2. Besondere Functionen. Keywords:Lamé expansions of holomorphic functions; Spherical harmonics PDFBibTeX XMLCite \textit{F. Lindemann}, Math. Ann. 19, 323--386 (1881; JFM 13.0410.01) Full Text: DOI EuDML