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On Lamé functions. (Ueber Lamé’sche Functionen.) (German) JFM 13.0406.01

Die gewöhnlichen Lamé’schen Functionen \(E(\lambda^2)\) sind, von den eventuell vorkommenden, dann aber nur einfach auftretenden Factoren \(\root\of{\lambda^2}\), \(\root\of{\lambda^2-b^2}\), \(\root\of{\lambda^2-c^2}\) abgesehen, ganze Functionen von \(\lambda^2\) von denen jedesm \((\tau + 1)\) Functionen des Grades \(\tau\) zusammengehören. Bekannt ist, dass diese Functionen alle verschieden und dabei reell sind, und dass sie, gleich Null gesetzt, je \(\tau\) getrennte reelle Wurzeln ergeben, die alle in dem Intervalle von 0 bis \(c^2\) enthalten sind, während keine Wurzel mit 0 oder \(C^2\) oder auch mit dem zwischen 0 und \(c^2\) eingeschalteten Werte \(b^2\) zusammenfällt. Ueber die Verteilung dieser \(\tau\) Wurzeln auf die Teilintervalle 0 bis \(b^2\) und \(b^2\) bis \(c^2\) stellt nun Herr Klein folgenden Satz auf: “Von den \((\tau + 1)\) Möglichkeiten, die man rein combinatorisch für die Verteilung von \(\tau\) Grössen auf zwei Intervalle erhält, trifft je eine bei einer, aber nur bei einer der oben genannten \((\tau + 1)\) Lamé’schen Functionen ein, so dass die Functionen und die verschiedenen Verteilungsweisen der Wurzeln einander eindeutig entsprechen.”
Der Beweis wird folgendermassen geführt. Es seien \(\mu\) und \(\nu\) elliptische Coordinaten auf der Kugel, und zwar liege \(\mu^2\) zwischen \(b^2\) und \(c^2,\nu^2\) zwischen 0 und \(b^2\), so wird das Lamé’sche Product der Ordnung \(n\) \[ f= E(\mu ).E(\nu^2) \] eine homogene ganze Function \(n^{\text{ten}}\) Grades der Coordinaten \(x,y,z\) die der bekannten Differentialgleichung des Potentials \[ \varDelta f= 0 \] genügt. Die Function \(f\) verschwindet dann, wenn \(\mu^2\) und \(\nu^2\) einen der Wurzelwerte der Gleichung \(E (\lambda^2)= 0\) annehmen, d. h. bei der Bedeutung von \(\mu\) und \(\nu\) in gewissen sphärischen Kegelschnitten., die in zwei Klassen zerfallen, je nachdem der eine oder der andere Factor von \(f\) verschwindet. Lässt man nun die anfangs verschiedenen Grössen \(b^2\) und \(c^2\) zusammelfallen, so gehen die elliptischen Kugelcoordinaten \(\mu ,\nu\), in die gewöhnlichen Polarcoordinaten über, jedes einzelne der Lamé’schen Producte verwandelt sich in eine bestimmte der \((2n+ 1)\) in Bezug auf die Axe des Polarcoordinatensystems symmetrischen Kugelfunctionen, die in der üblichen Bezeichnung lauten: \[ P^n_h(\cos{}(h\varphi )\quad\text{und}\quad P^n_h(\cos{}\vartheta ).\sin{}(h\varphi ). \] Von jeder Kugelfunctionen ist nun bekannt, für welche Meridiane und Parallelkreise auf der Kugel sie verschwindet. Da ferner jede einzelne dieser Kugelfunctionen beim Grenzübergange nur aus einer bestimmten Lamé’schen Function entsteht, so ist auch für ein Lamé’sches Product bekannt, für welche Kugelkreise es im Grenzfall verschwindet. Die Meridiane, auf denen dies gesehieht, entsprechen aber den sphärischen Kegeischnitten der einen der oben genannten beiden Klassen, die Parallelkreise den sphärischen Kegelschnitten der anderen Klasse. Man weiss daher für jedes Product \(f\), wie oft der eine und wie oft der andere Factor verschwindet; und damit hat man unmittelbar den oben ausgesprochenen Satz.
Zum Schluss wird derselbe Satz von den gewöhnlichen Lamé’schen Functionen (denen zweiter Ordnung) auf die Lame’schen Functionen höherer Ordnung ausgedehnt.

MSC:

33E10 Lamé, Mathieu, and spheroidal wave functions
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