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Theorems concerning Lamé’s equation. (Théorèmes relatifs à l’équation de Lamé.) (French) JFM 13.0257.01

Herr Hermite hat in den C. R. LXXXV. (F. d. M. IX. 1877. 350 (JFM 09.0349.01)) bewiesen, dass ein Integral der Differentialgleichung \[ \frac{d^2y}{du^2}=\;(n(n+1)k^2sn^2u+h)y \] in der Form \[ y=\;\frac{d^{n-1}v}{du^{n-1}}-a_1\;\frac{d^{n-3}v}{du^{n-3}}+a_2\;\frac{d^{n-5}v}{du^{n-5}}\cdots \] dargestellt werden kann, wo \[ v=\frac{H(u+\omega)}{\theta (u)}e^{ \left[ \lambda -\frac{\theta' (\omega)}{ \theta (\omega)} \right] u} \] ist. Andererseits hatte Herr Hermite schon früher bewiesen, dass \[ y=\;\frac{H(u+\omega_1)H(u+\omega_2)\ldots H(u+\omega_n)}{\theta^n (u)} e^{-u\sum \frac{\theta' (\omega)}{ \theta (\omega)}}. \] Der Zweck der vorliegenden Note ist erstens: Zu beweisen, dass zwischen den \(\omega_1 \ldots \omega_n\) der alten und dem \(\omega\) der neuen Lösung die Beziehung besteht: \[ \omega_1+\omega_2+\cdots +\omega_n+\omega=\;\text{const.} \] 2) Eine einfache Methode für die Bestimmung von \(sn^2\omega\) und \(\lambda^2,a_1,a_2, \ldots\) als Function von \(h\) und \(k\) zu geben. Wie schon Herr Hermite bemerkt hat, sind \(sn^2\omega\) und \(\omega^2\) rationale Functionen und die Coefficienten \(a_1,a_2 \ldots\) ganze Functionen des Moduls und von \(h\).

MSC:

34A30 Linear ordinary differential equations and systems

Citations:

JFM 09.0349.01
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