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Some remarks concerning the Lamé equation. (Sur quelques remarques relatives á l’équation de Lamé.) (French) JFM 12.0258.02

C. R. XCI, 40-43 (1881); C. R. XCI, 102-105 (1881).
Lamé hatte bei der Aufstellung der nach ihm benannten Gleichung, die in der letzten Zeit der Gegenstand vielfacher Untersuchungen gewesen ist, die Verallgemeinerung der Fourier’schen Reihe im Auge, indem er die Sinus und Cosinus der Vielfachen der Variabeln durch ganze Polynome mit wachsenden Graden ersetzte, nach denen eine willkürliche Function entwickelt werden sollte. Die verschiedenen Darstellungen dieser Polynome bilden den Inhalt vorliegender Arbeit. Bedeuten \(A_i B_i C_i\) \((i = 0, 1, 2)\) neun Variable, zwischen welchen die sechs Relationen bestehen \[ \begin{aligned} & A_0^2 + B_0^2 = A_1^2 - B_1^2 = A_2^2 - B_2^2 = k^2,\\ & A_0^2 + C_0^2 = A_1^2 + C_1^2 = A_2^2 - C_2^2 = 1,\end{aligned} \] so können die drei Differentialgleichungen von Lamé (Leçons sur les fonctions inverses p. 47) unter der Form vereinigt werden \[ B_i^2 C_i^2 h'' + \frac 12 (B_i^2 C_i^2)'y' + (n(n+1) B_i^2 - l^2) y = 0 \quad (i = 0, 1, 2), \] worin \(A_i\) die unabhängige Variable ist. Das allgemeine Integral ist \[ y = G\varphi_l^{(n)} + H\varphi_l ^{(n)} \int \frac{dA_i}{(\varphi_i^{(n)} )^2 B_i C_i}, \] in welcher Form es Herr Liouville zuerst erhalten hat, ohne jedoch die Werthe des Polynoms \(n^{\text{ten}}\) Grades \(\varphi_l^{(n)}\) für \(i=0, 1, 2\) anzugeben. Herr Escary stellt jeden dieser Werthe in drei verschiedenen Ausdrücken dar, nämlich vermittelst der \(A_i\), \(B_i\) oder \(C_i\). Indem er ferner aus den obigen drei Differentialgleichungen noch sechs andere dadurch herleitet, dass er statt \(A_i\) der Reihe nach \(B_i\) und \(C_i\) zur unabhängigen Variablen nimmt, ergeben sich noch sechs neue Polynome, deren jedes in der angegebenen Weise in drei verschiedenen Ausdrücken dargestellt wird. Die Ausdrücke lassen unmittelbar die Natur der Wurzeln dieser Polynome (gleich Null gesetzt) und , was für die Darstellung einer willkürlichen Function nach diesen Polynomen besonders wichtig ist, die Grenzen erkennen, zwischen welchen alle Wurzeln eingeschlossen sind.

MSC:

34A30 Linear ordinary differential equations and systems

Keywords:

Lamé equation
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Full Text: Gallica