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On the integration of Lamé’s differential equation. (Sur l’intégration de l’équation différentielle de Lamé.) (French) JFM 12.0254.02

Für die Lamé’sche Differentialgleichung \[ (1) \quad D_{\xi}^2 y = [n(n+1) k^2 sn^2 \xi + h]y \] hat Herr Hermite die Lösung \[ y = CF(\xi) + C'F (- \xi) \] gegeben, wo \(F(\xi)\) eine eindeutige doppeltperiodische Function der zweiten Art mit den Perioden \(2K\) und \(2iK'\) bedeutet. Es handelt sich in der vorliegenden Arbeit um die Bestimmung von \(F(\xi)\) für den Fall, dass der Modul \(k=1\) ist.
Seien \(\alpha_1 \ldots \alpha_n\) die Wurzeln von \(F(\xi) = 0\) und \(\beta_1 \ldots \beta_m\) die der Gleichung \(\frac{1}{F(\xi)} = 0\) innerhalb des Periodenrechtecks, so muss \(m=n\) sein. Ferner lässt sich \(F(\xi)\) in der Productform darstellen: \[ (2) \quad F(\xi) = \frac{H(\xi - \alpha_1) H(\xi - \alpha_2) \ldots H(\xi - \alpha_n)}{H(\xi - \beta_1) H(\xi - \beta_2) \ldots H(\xi - \beta_n)} e^{\lambda \xi + \lambda_0}, \] wo \(\lambda\) und \(\lambda_0\) Constanten sind, und man hat \[ F(\xi + 2K) = \mu F(\xi), \quad F(\xi + 2iK') = \mu' F(\xi), \] wo \[ \mu = e^{2\lambda K}, \quad \mu' = e^{- \frac{i\pi}{K} (\varSigma \beta - \varSigma \alpha) + 2\lambda i K'}. \] Der unmittelbaren Einführung von \(k=1\) in (2) steht die Schwierigkeit entgegen, dass, da in diesem Falle \(q=1\) ist, die Reihen, welche die Functionen \(\vartheta\), \(H\) etc. darstellen, divergent sind. Bedient man sich aber der Weierstrass’schen Functionen, so haben diese für \(k=1\) bestimmte Grenzwerthe, nämlich \[ A l(x) = e^{- \frac{x^2}{2}} \cos ix, \quad Al(x)_1 = e^{- \frac{x^2}{2}} \frac {\sin x}{i}, \]
\[ Al(x)_2 = Al(x)_3 = e^{\frac{x^2}{e^2}}. \] Da ferner \(\frac JK = 1\) wird, und \(Al(x) = \frac{e^{-\frac{Jx^2}{2K}} \varTheta(x)}{\varTheta (0)}\) etc., so folgt für \(k=1\): \[ \frac{\varTheta(x)}{\varTheta(0)} = \cos ix,\quad \frac{H(x)}{H'(0)} = \frac{\sin ix}{i}, \]
\[ \frac{H_1(x)}{H_1(0)} = \frac{\varTheta _1 (x)}{\varTheta_1 (0)} = 1, \quad \text{sn\,} (\xi) = \frac{\text{tg\,} i \xi}{i}, \] und der Ausdruck für \(F(\xi)\) geht, wenn man noch \[ \text{sn} \xi = x, \quad \text{sn} \alpha = a_1, \quad \text{sn} \beta = b \] setzt, für \(k=1\) über in \[ F(\xi) = C \frac{(x-a_1) (x-a_2) \ldots (x-a_n)}{(x-b_1)(x-b_2) \ldots (x-b_n)} \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{\frac{\lambda}{2}}, \] wo \(C\) eine Constante ist. Das Integral der Differentialgleichung (1), \(F(\xi)\), hat zum einzigen Pol den \(n\)-fachen Punkt \(\xi = iK'\), folglich werden die \(b = \infty\), und man erhält \[ F(\xi) = c. \varPi (x) \left( \frac{1+x}{1-x} \right) ^{\frac{\lambda}{2}}, \] wo \(\varPi (x)\) ein ganzes Polynom \(n^{\text{ten}}\) Grades bedeutet, und es erübrigt noch die Bestimmung von \(\lambda\) und \(\varPi\). Diese führt der Verfasser für eine allgemeinere Gleichung aus, welche die Lamé’sche und ausserdem noch eine von Herrn Picard behandelte Gleichung (C. R. Juli 1879) für \(k=1\) als besondere Fälle enthält. Für die Lamé’sche wird \(\lambda = \sqrt{n(n+1) +h}\) und \[ \varPi (x) = \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{\lambda} D_x^n [(x-1)^{n-\lambda} (x+1)^{n+\lambda}] \] erhalten, und die vollständige Lösung von (1) für \(k=1\) ist also \[ y = C \left( \frac{x+1}{x-1} \right) ^{\frac{\lambda}{2}} \varPi (x) + C' \left( \frac{x-1}{x+1} \right) ^{\frac{\lambda}{2}} \varPi (-x), \quad x = \text{sn} \xi . \]
Schliesslich wird noch erötert, in welchen Fällen die beiden particulären Lösungen eine constante Beziehung zu einander haben, obige Formel also nicht das allgemeine Integral giebt. Dies tritt dann und nur dann ein, wenn \(\lambda\) ganz und nicht grösser als \(n\) ist. In einem Nachtrage wird auch für diese singulären Fälle die vollständige Lösung der erwähnten allgemeineren Gleichung gegeben.

MSC:

34A30 Linear ordinary differential equations and systems
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