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Sur l’équation de Lamé. (French) JFM 10.0235.02

Setzt man in der Lamé’schen Differentialgleichung (s. p. 233, JFM 10.0231.01) \(sn^2x=t\), so geht sie über in \[ \text{(1)} \quad 2Ay'' +A'y' =By, \] wo \[ A=t(1-t)(1-k^2t), \quad 2B=n(n+1)k^2t+h. \] zu setzen ist. Das Product zweier particulärer Lösungen derselben genügt der Differentialgleichung \(3^{\text{ter}}\) Ordnung: \[ \text{(2)} \quad 2Az'''+3A'z'' +A''z'= 4Bz' +2B'z. \] Differentiirt man dieselbe \(p\) mal nach \(x\), so ergiebt sich sofort, dass \(z^{(p)}\). Const. für \(p=n\) ein Integral der neuen Gleichung ist. Die Gleichung (2) hat somit eine ganze Function \(n^{\text{ten}}\) Grades \(F(t)\) zum Integral. Aus den beiden Gleichungen \(y_1y_2+F(t)\) und \[ y_2 \frac{dy_1}{dt}- y_1\frac{dy_2}{dt} =\frac{C}{\sqrt A} \] (\(C\) eine Constante) erhält man leicht als particuläre Lösungen von (1) \[ y_1=e^{\frac12 \int \left[ \frac{F'(t)}{F(t)} +\frac{C}{\surd A\cdot F(t)} \right] dt}, \]
\[ y_2 =e^{\frac12\int \left[ \frac{F'(t)}{F(t)} +\frac{C}{\sqrt A \cdot(Ft)} \right] dt}. \] Diese Ausdrücke sind eine Verallgemeinerung der von Herrn Brioschi (C. R. LXXV. 1160, s. F. d. M. IX. 239, JFM 09.0239.01) für den Fall \(n=1\) gegebenen Lösungen. Wir bemerken, dass gleichzeitig Herr Fuchs nicht nur zu demselben Resultat gelangt ist, sondern auch die wahre Quelle desselben entdeckt hat, indem er allgemein die Bedingungen, unter welchen die Gleichung (1) Lösungen obiger Form zulässt, ermittelte (S. oben). Für den Werth von \(C\) ergiebt sich in Uebereinstimmung mit dem von Herrn Fuchs für \(\lambda\) gegebenen Werthe \(C=F'{}^2 (\tau) A(\tau)\) für jeden Nullwerth \(\tau\) von \(F(t)\), wobei zu beachten, dass \(C^2=-\lambda\). Nach Einführung von \(t=sn^2(x)\) erhält der Verfasser alsdann für die Integrale \(y_1, y_2\) dieselben Ausdrücke durch Thetafunctionen, wie sie Herr Fuchs in der angeführten Arbeit entwickelt hat.

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