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Birkhoff’s normal form and resonances. (Forme normale de Birkhoff et résonances.) (French) Zbl 0955.35009

Soit \(p\) un opérateur différential à coefficients analytiques, de symbole de Weyl \(P(x,\xi,h)= p_0(x,\xi)+ hp_1(x,\xi)+\cdots+ h^kp_k(x,\xi)\), vérifiant les hypothèses de B. Helffer et J. Sjöstrand [Mém. Soc. Math. Fr., Nouv. Sér. 24/25 (1986; Zbl 0631.35075)], qui permettent de définir des résonances près de \(0\) par la théorie microlocale. En supposent que l’ensemble des trajectoires captées est réduit à un point (nécessairement point critique de \(p_0\)), qui est non-dégéneré, J. Sjöstrand [Lect. Notes Math. 1256, 402-429 (1987; Zbl 0627.35074)] décrit les résonances dans un disque de rayon \(Ch\). En faisant une hypothèse supplémentaire sur les valeurs propries de la matrice fondamentale de \(p_0\) au point critique, les auteurs traitent le même problème dans des disques de taille \(h^\delta\), où \(\delta> 0\) est arbitraire. La démonstration utilise certaines idées de J. Sjöstrand, ainsi qu’une variante de la forme normale de Birkhoff.

MSC:

35B34 Resonance in context of PDEs
35A27 Microlocal methods and methods of sheaf theory and homological algebra applied to PDEs
35P25 Scattering theory for PDEs
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