×

Sur l’équation de Lamé. (French) JFM 09.0239.01

Durch das Studium der Arbeiten der Herren Hermite und Fuchs ist Herr Brioschi zu folgenden merkwürdigen Transformation der Lamé’schen Differentialgleichung geführt. Diese Gleichung ist: \[ \frac{d^2y}{du^2}=[h+n(n+1)k^2sn^2u]y; \] setzt man nun \[ \varphi(x)=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3), \] und transformirt die Differentialgleichung durch eine der Relationen; \[ x-e_1=(e_2-e_1)sn^2u, \quad x-e_2=(e_1-e_2)cn^2u, \]
\[ x-e_3=(e_1-e_3)dn^3u, \] so erhält die Gleichung die Form: \[ y''+py'+qy=0, \] wo \[ y'=\frac{dy}{dx},\quad y''=\frac{d^2y}{dx^2},\quad p=\frac12\frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)},\quad q=-\frac{mc+n(n+1)x}{\varphi(x)} \] und \[ mc=h(e_3-e_1)-n(n+1)e_1, \] \(m\) ein numerischer Coefficient und \(c\) eine Constante. Diese Transformation führt zu merkwürdigen Folgerungen, als deren specielle Fälle sich die Resultate von Hermite und Fuchs ergeben.

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: Gallica