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Marcinkiewicz multipliers and multi-parameter structure on Heisenberg (-type) groups. II. (English) Zbl 0863.43001

Dies ist der zweite Artikel in einer Reihe von Arbeiten der Autoren zu spektralen Multiplikator-Operatoren auf “Heisenberg-artigen” Gruppen; der erste ist in [Invent. Math. 119, 199-233 (1995; Zbl 0857.43012)] erschienen. Hier werden Operatoren auf Gruppen vom \(H\)-Typ untersucht; dies sind gewisse zweistufige nilpotente Liesche Gruppen mit einer zusätzlichen Struktur; typische Beispiele sind die nilpotenten Teile in einer Iwasawaschen Zerlegung einer einfachen Lieschen Gruppe vom Rang 1. Ist nun \({\mathcal L}\) der in diesem Zusammenhang übliche Sublaplace-Operator und \(U_1,\dots,U_n\) eine orthonormale Basis des Zentrums der einschlägigen Lieschen Algebra, so ist es ein Ziel der Arbeit, die Beschränktheit des Operators \(m({\mathcal L}, U_1, \dots, U_n)\) auf \(L^p\), \(1<p < \infty\), für passende Funktionen \( m\) auf \(\mathbb{R}^{n+1}\) nachzuweisen. In der Tat werden minimale Differenzierbarkeitseigenschaften von \(m\) angegeben, ausgedrückt durch die Endlichkeit gewisser Sobolevscher Normen, welche \(L^p\)-Beschränktheit gewährleisten. Als eine Konsequenz unter mehreren anderen erhält man die \(L^p\)-Beschränktheit von Projektoren auf gewisse Eigenräume, welche im Heisenbergschen Falle von Strichartz mit anderen Methoden (explizite Darstellungen) bewiesen wurde.

MSC:

43A22 Homomorphisms and multipliers of function spaces on groups, semigroups, etc.
43A80 Analysis on other specific Lie groups
43A15 \(L^p\)-spaces and other function spaces on groups, semigroups, etc.

Citations:

Zbl 0857.43012
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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Carbery, A., Seeger, A.: Homogeneous Fourier multipliers of Marcinkiewicz type. (preprint) · Zbl 0832.42006
[2] Christ, M.: The strong maximal function on a nilpotent group. Trans. Amer. Math. Soc.331, 1–13 (1992) · Zbl 0765.43002 · doi:10.2307/2153994
[3] Cowling, M., Dooley, A.H., Koranyi, A., Ricci, F.: H-type groups and Iwasawa decompositions. Advances in Math.87, 1–41 (1991) · Zbl 0761.22010 · doi:10.1016/0001-8708(91)90060-K
[4] Damek, E., Ricci, F.: Harmonic analysis on solvable extensions of H-type groups. J. Geom. Anal.2, 213–248 (1992) · Zbl 0788.43008
[5] Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F., Tricomi, F.G.: Higher transcendental functions. Mc Graw-Hill, New York, 1953 · Zbl 0051.30303
[6] Folland, G.B., Stein, E.M.: Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton Univ. Press, N.J., 1982 · Zbl 0508.42025
[7] Gasper, G., Trebels, W.: A characterization of localized Bessel potential spaces and applications to Jacobi and Hankel multipliers. Studia Math.LXV, 243–278 (1979) · Zbl 0436.42005
[8] Hebisch, W.: Multiplier theorem on generalized Heisenberg groups. Colloquium Math.LXV, 231–239 (1993) · Zbl 0841.43009
[9] Helffer, B., Nourrigat, J.: Caractérisation des opérateurs hypoelliptiques homogènes invariants à gauche sur un groupe de Lie nilpotent gradué. Comm. in Partial Diff. Eq.4, 899–958 (1979) · Zbl 0423.35040 · doi:10.1080/03605307908820115
[10] Hulanicki, A.: A functional calculus for Rockland operators on nilpotent Lie groups. Studia Math.78, 253–266 (1984) · Zbl 0595.43007
[11] Kaplan, A.: Fundamental solutions for a class of hypoelliptic p.d.e. generated by composition of quadratic forms. Trans. Amer. Math. Soc.258, 147–153 (1980) · Zbl 0393.35015 · doi:10.1090/S0002-9947-1980-0554324-X
[12] Mauceri, G.: Maximal operators and Riesz means on stratified groups. Symposia Math.XXIX, 46–62 · Zbl 0659.22009
[13] Metivier, G.: Hypoelliticité analytique sur des groupes nilpotents de rang 2. Duke Math. J.47, 195–221 (1980) · Zbl 0433.35015 · doi:10.1215/S0012-7094-80-04715-8
[14] Müller, D., Ricci, F.: Solvability for a class of doubly characteristic differential operators on 2-step nilpotent groups. (to appear in Annals of Math) · Zbl 0841.22006
[15] Müller D., Ricci, F., Stein, E.M.: Marcinkiewicz multipliers and two-parameter structures on Heisenberg groups I. Invent. Math.119, 119–233 (1995) · Zbl 0857.43012
[16] Müller, D., Stein, E.M.: On spectral multipliers for Heisenberg and related groups. J. Math. Pures Appl.73, 413–440 (1994) · Zbl 0838.43011
[17] Ricci, F.: Harmonic analysis on generalized Heisenberg groups. (unpublished preprint) · Zbl 0521.43008
[18] Ricci, F., Sjögren, P.: Two-parameter maximal functions in the Heisenberg group. Math. Zeitschrift199, 565–575 (1988) · Zbl 0638.42019 · doi:10.1007/BF01161645
[19] Stein, E.M.: Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton Univ. Press, N.J., 1970 · Zbl 0207.13501
[20] Stein, E.M., Weiss, G.: Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton Univ. Press, 1971 · Zbl 0232.42007
[21] Strichartz, R.S.:L p harmonic analysis and Radon transforms on the Heisenberg group. J. Funct. Anal.96, 350–406 (1991) · Zbl 0734.43004 · doi:10.1016/0022-1236(91)90066-E
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