×

Linear independence of logarithms of algebraic numbers (with an appendix by M. Laurent). (English) Zbl 0809.11038

IMSc Report. 116. Madras: Institute of Mathematical Sciences, 168 p. (1992).
Die vorliegende Monographie ging aus einer Vortragsreihe hervor, die Verf. im Frühjahr 1992 in Indien, insbesondere in Madras, gehalten hat. Sein erstes Ziel war ein möglichst einfacher Beweis des Bakerschen Satzes über Linearformen in Logarithmen algebraischer Zahlen mit algebraischen Koeffizienten (homogener Fall). Dabei werden die früheren Techniken von Baker, d.h. Ableitungen einer geeigneten Hilfsfunktion in mehreren Variablen und Extrapolation, nicht mehr benützt. Stattdessen stützt sich Verf. auf die von M. Laurent in diesem Kontext eingeführten Interpolationsdeterminanten: Vergleich analytischer oberer Abschätzungen derselben mit arithmetischen unteren führen zum Ziel, wenn man noch eine Nullstellenabschätzung investiert, die auf einem Satz von Bézout über die als endlich vorausgesetzte Anzahl der gemeinsamen Nullstellen einer endlichen Anzahl von Polynomen in mehreren Variablen beruht.
Der zweite Teil beginnt mit einer quantitativ präzisierten Durchsicht der Beweisanordnung des ersten Teils, um Maße für die lineare Unabhängigkeit der Logarithmen algebraischer Zahlen zu gewinnen. Diese Maße erreichen zunächst nicht die heute bekannten besten, genügen aber schon zur effektiven Behandlung gewisser diophantischer Gleichungen, ein hier nicht weiter vertieftes Thema. Sodann werden schärfere Maße abgeleitet, indem eine von P. Philippon stammende verbesserte Nullstellenabschätzung ebenso wie genauere Aussagen über Interpolationsdeterminanten herangezogen werden. Der Fall inhomogener Linearformen wird zum Schluß ebenso behandelt wie der Sechsexponentensatz mit Verallgemeinerungen.
Ein Anhang über Vermutungen und einer von M. Laurent über Interpolationsdeterminanten und den für viele Anwendungen so bedeutsamen Spezialfall von Linearformen in zwei Logarithmen beschließt diese Vorlesungsausarbeitung. Das Werk erhält seinen Wert nicht zuletzt dadurch, daß jedem Kapitel eine Reihe von Übungsaufgaben ebenso wie eine bis in die neueste Zeit reichende einschlägige Literaturliste beigefügt sind.

MSC:

11J86 Linear forms in logarithms; Baker’s method
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
PDFBibTeX XMLCite