Watson, N. A. Parabolic equations on an infinite strip. (English) Zbl 0675.35001 Pure and Applied Mathematics, 127. New York etc.: Marcel Dekker, Inc. xii, 289 p. $ 99.75/US and Canada; $ 119.50/elsewhere (1989). In diesem Buch werden Lösungen linearer parabolischer Differentialgleichungen 2. Ordnung in einem Streifen \((x,t)\in {\mathbb{R}}^ n\times (0,a)\) mit \(0<a\leq \infty\) behandelt. Direkt wird im Text immer die Wärmeleitungsgleichung zugrundegelegt, damit die Hauptideen so klar als möglich dargestellt werden können. Jedes Kapitel endet jedoch mit einem ausführlichen Abschnitt über Erweiterungen der Ergebnisse auf allgemeinere parabolische Gleichungen und mit einem Abschnitt, der viele bibliographische Hinweise gibt. Es ist Wert gelegt auf gute Lesbarkeit, indem möglichst wenig Terminologie aufgebaut wird, und die Beweise detailliert dargestellt sind. Vorkenntnisse in allgemeiner Analysis und in Maßtheorie werden benötigt. Damit kommt Verf. zu angemessenen Methoden der Diskussion solcher Lösungen und erreicht schnell Anschluß an neuen Forschungsergebnissen, die teilweise in Buchform bisher nicht vorlagen. In Kapitel I wird das Konzept einer Fundamentallösung entwickelt und, daß man damit Lösungen erzeugen kann als (Gauß/Weierstraß-) Integrale bezüglich signierter Maße. Das Buch behandelt überwiegend solche Integraldarstellungen und deren Beziehungen zu Anfangswerten. In II wird die Darstellbarkeit jeder nichtnegativen Lösung (der Differentialgleichung) als Integral bezüglich eines nichtnegativen Maßes im \({\mathbb{R}}^ n\) behandelt und dabei eine Konvergenz und ein Maximumprinzip diskutiert. In III wird besprochen, wann Lösungen die Halbgruppeneigenschaft haben, wann das Cauchy-Problem höchstens eine Lösung hat und wann es für eine Lösung weitherhin eine Integraldarstellung gibt. Kapitel IV behandelt den parabolischen Grenzwert des Integrals eines signierten Maßes auf \({\mathbb{R}}^ n\times \{0\}\) fast überall und enthält hierzu einige neue Ergebnisse. In V werden normale Grenzwerte für nichtnegative Maße, die singulär sind bezüglich des Lebesgue-Maßes und weitere Darstellungstheoreme für Lösungsklassen besprochen. VI enthält weiter Darstellungssätze, wenn ohne den normalen Grenzwert gearbeitet werden soll. Hierbei sind auch neue Aussagen dargestellt für Lösungen, die \(L_ p\)-Bedingungen genügen. In VII wird die Bestimmung des signierten Maßes aus einer Lösung behandelt, die nicht als Integrale darstellbar sind und in gewisser Weise Anfangswerte haben. Dabei werden auch allgemeinere Maximumprinzipien behandelt. Der Text ist in gut lesbarem Kleindruck gesetzt. Das Buch informiert umfassend über diese Gauß/Weierstraß-Integrale und zeigt, wie weitgehend sich Lösungen durch diese Integraldarstellungen behandeln lassen. Reviewer: J.Jaenicke Cited in 8 Documents MSC: 35-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to partial differential equations 35K15 Initial value problems for second-order parabolic equations 35A08 Fundamental solutions to PDEs 35C15 Integral representations of solutions to PDEs 35B50 Maximum principles in context of PDEs 35B40 Asymptotic behavior of solutions to PDEs Keywords:infinite strip; bibliography; fundamental solution; integral representation; signed measure; convergence; maximum principle; Cauchy problem; Gauss-Weierstrass integrals PDFBibTeX XMLCite \textit{N. A. Watson}, Parabolic equations on an infinite strip. New York etc.: Marcel Dekker, Inc. (1989; Zbl 0675.35001)