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Algèbres de Hecke et induites de représentations cuspidales pour GL(N). (French) Zbl 0586.20020

Soient F un corps local non archimédien, n un entier \(\geq 1\). On donne d’abord une méthode pour construire des représentations cuspidales irréductibles de GL(n,F), par induction à partir de groupes compacts. Cette construction englobe celles de Carayol et Howe.
Soit \(\rho\) une représentation obtenue par cette construction. Soit t un entier \(\geq 1\). Considérons la catégorie \({\mathfrak C}_ t\) des représentations lisses \(\pi\) de GL(nt,F) telles que pour tout sous- quotient irréductible \(\sigma\) de \(\pi\), il existe \(s_ 1,...,s_ t\in {\mathbb{C}}\) tels que \(\sigma\) soit sous-quotient de l’induite \[ Ind_ P^{GL(nt,F)}\rho \otimes | \det |^{s_ 1}\times...\times \rho \otimes | \det |^{s_ t}, \] où P est le sous-groupe parabolique standard de GL(nt,F) de groupe de Lévi \(GL(n,F)^ t\). On montre qu’il existe une extension F’ de F de degré n, dépendant seulement de \(\rho\), telle que \({\mathfrak C}_ t\) soit équivalente à la catégorie \({\mathfrak C}'\!_ t\) des représentations de l’algèbre des fonctions à support compact sur GL(t,F’) biinvariantes par un sous- groupe d’Iwahori. De plus les foncteurs d’induction existant entre les catégories \({\mathfrak C}_ t\) \((t\in {\mathbb{N}}^*)\) et ceux concernant les catégories \({\mathfrak C}'\!_ t\), se correspondent. On en déduit des renseignements sur la catégorie \({\mathfrak C}_ t\) (involution de Zelevinski, décomposition des induites), ainsi que le calcul du degré formel de l’unique (à torsion près) élément irréductible de \({\mathfrak C}_ t\) de carré intégrable.

MSC:

20G05 Representation theory for linear algebraic groups
20G25 Linear algebraic groups over local fields and their integers
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Full Text: DOI EuDML