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On the surfaces of order 4 that have a double curve of degree 2. (Ueber die Flächen vierten Grades, welche eine Doppelcurve zweiten Grades haben.) (German) JFM 02.0639.01

Die von Herrn Camille Jordan in den Comptes rendus vom 15. März 1869 (s. p. 273) veröffentlichten algebraischen Untersuchungen lassen einen Zusammenhang erkennen zwischen den Geraden einer allgemeinen Fläche dritten Grades und den Geraden einer Fläche vierten Grades, welche eine Doppelcurve zweiten Grades hat. Dies geometrisch zu bestätigen, ist der Zweck dieses Aufsatzes. Es werden zwei Methoden angwandt, die Punkte einer solchen Fläche vierten Grades mit denen einer Fläche dritter Grades im Allgemeinen eindeutig in Beziehung zu setzen, eine indireckte und eine direkte. Mittelst beider wird abgeleitet, dass wenn man aus den 27 Geraden in Bezug auf gegenseitiges Schneiden oder Nichtschneiden dieselbe Anordnung zeigen als die 16 Geraden einer Fläche vierten Grades von der angegebenen Art. In beiden Abbildungsmethoden entsprechen nämlich die letzteren solchen 16 Geraden der Fläche dritten Grades, welche auf die angegebene Weise erhalten werden. Die erste dieser Methode beruht auf einer geeigneten Vereinigung der von Herrn Clebsch angegebenen Abbildungen der allgemeinen Fläche vierten und dritten Grades auf eine Ebene (Borchardt J. B. LXIX. 142, (siehe Fortschr. d. M. I. p. 258, JFM 01.0258.01) LXV. 359). Die zweite ist eine Verallgemeinerung des Principes der reciproken Radien, wobei als fester Pol irgend ein einfacher Punkt der gegebenen Fläche vierten Grades und eine Fläche zweiten Grades gewählt wird, welche in der Doppelcurve den durch dieselbe als Leitlinie und den Pol als Mittelpunkt bestimmten Kegel berührt. Die entsprechende Fläche dritten Grades geht dann durch die Doppelcurve. Mittelst dieser Beziehung wird zuletzt aus den Eigenschaften einer Fläche dritten Grades, welche den unendlich entfernten imaginären Kreis des Raumes enthält, der Satz abgeleitet, dass auf Flächen vierten Grades, welche diesen imaginären unendlich entfernten Kreis zur Doppelcurve haben, entweder zwei oder sechs reelle Kreisschaaren liegen.

MSC:

51N20 Euclidean analytic geometry

Citations:

JFM 01.0258.01
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Full Text: DOI EuDML