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Arithmetical properties of polynomials. (English) Zbl 0051.27703

Es sei \(f(x)\) ein Polynom mit ganz-rationalen Koeffizienten, deren größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist. Der Grad von \(f(x)\) sei \(l\geq 3\) und der Koeffizient von \(x^l\) sei positiv. Es werde vorausgesetzt, daß \(f(x)\) nicht durch die \((l-1)\)-te Potenz eines linearen Polynoms mit ganzen Koeffizienten teilbar ist. Der Verf. beweist, daß es dann unendlich viele positive ganze Zahlen \(n\) gibt derart, daß \(f(n)\) nicht durch eine \((l-1)\)-te Potenz teilbar ist. Falls \(l\) eine Potenz von 2 ist, wird dabei allerdings noch vorausgesetzt, daß eine positive ganze Zahl \(n\) mit \(f(n) \not\equiv 0\pmod {2^{l-1}}\) existiert. Im letzteren Falle gibt es unendlich viele positive ganze \(n\) mit \(f(n)=2^{l-1}u_n\), wo \(u_n\) ungerade und nicht durch eine \((l-1)\)-te Potenz teilbar ist.
Reviewer: H. D. Kloosterman

MSC:

11C08 Polynomials in number theory
11N32 Primes represented by polynomials; other multiplicative structures of polynomial values
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